RESUMEN
DE MECÁNICA ESTADISTICA
Fundamentos
básicos
Estadística
de Fermi - Dirac
Vamos a calcular el número W de microestados correspondientes
a un macroestado determinado de un sistema de N fermiones, es
decir, de un sistema de partículas que obedece al principio
de exclusión de Pauli. Un macroestado nos vendrá
determinadopor el conjunto de números {ni}
que nos indica que el número de partículas ni
que existen en cada nivel energético Ei, cuya
degeneración designamos por gi. Por el principio
de exclusión de Pauli, como máximo puede existir
una partícula por compartimento, es decir,
. Si ni compartimentos de una celda están
llenos, (gi - ni) están vacíos.
Por el cálculo de números combinatorios, sabemos
que el número de formas distintas de distribuir gi
objetos de dos categorías, siendo ni los de
una categoría y (gi - ni) los de
otra, es:
Según
eso, el número total de formas en que podemos poner N
partículas en las celdas con n1 en la primera
celda, n2 en la segunda, etc., es:
Nos planteamos
ahora el problema de saber, en el caso de un sistema en equilibrio,
es decir, un sistema en el que se conservan el número
de partículas, N, y su energía total, E, cual
de todos los posibles macroestados es el más probable.
Para ello plantearemos la hipótesis de que todos los
microestados son igualmente probables, con lo cual, el macroestado
con mayor número de microestados será el más
probable. Según eso, el conjunto de números {ni}
que maximiza a W corresponderá al macroestado buscado.
Puesto que ln W varía monótonamente con W, calcularemos
el máximo de ln W en vez del de W. De la expresión
anterior podemos deducir:
Si suponemos
que gi y ni son grandes, y (gi
- ni) >> 1, por la fórmula de aproximación
de Stirling:
tenemos:
Considerando
las variables ni continuas y teniendo en cuenta que gi permanece
constante, el máximo de ln W lo obtenemos resolviendo:
Las variaciones dni no son independientes debido
a las condiciones restrictivas concernientes a la conservación
de la energía y al número de partículas:
Por lo tanto, para encontrar el máximo buscado aplicamos
el método de los multiplicadores de Lagrange con las
condiciones anteriores, es decir:
de donde resulta:
y tomando antilogaritmos:
El cociente (ni/gi) = n(Ei)
se denomina índice de ocupación de un copartimento
de energía Ei. este valor representa el número
medio de partículas por compartimento a dicha energía
y resulta ser independiente de la distribución detallada
de los compartimentos como una función de E.
La identificación de las constantes a
y b con magnitudes termodinámicas
del sistema se realiza considerando dos sistemas, uno con energía
E, distribución ni y espectro Ei, y otro con
energía (E + dE), distribución (ni
+ dni) y espectro (Ei + dEi).
De (10) obtenemos:
Si mediante (11) sustituimos Ei•dni,
resulta:
y de (9) y (10) obtenemos:
El espectro Ei cambia solamente con el volumen V
del sistema, ya que viene determinado por las condiciones de
contorno del problema. Podemos escribir entonces:
Por otra parte tenemos que la primera ley de la termodinámica
se expresa:
siendo T la temperatura, S la entropía, P la presión
y m el potencial electroquímico.
Si consideramos además la definición microscópica
de la entropía:
Donde k es la constante de Boltmann, podemos identificar a y
b (letra b) comparando las ecuaciones (15) y (16):
Por todo ello,
finalmente, resulta:
La f0(Ei)
es la llamada función de distribucón de Fermi
- Dirac. Atendiendo a la definición de ni
y gi, f0(Ei) representa la
probabilidad de que un estado de energía e contenga una
partícula (fermión). Es usual denominar al potencial
químico, m, en el caso de
fermiones, nivel de Fermi que, ene general, será función
de la temperatura. Su valor para T = 0, que representaremos
por 
recibe
el nombre de energía de Fermi (como es evidente, m tiene
dimensiones de energía.
En
la figura adjunta se representa la forma f0(Ei)
para distintos valores de la temperatura y donde Ei
se ha tomado como variable continua. |
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En el cero absoluto, todos los estados que corresponden a una
energía menor que el nivel de Fermi están ocupados,
mientras que los estados de energía superior están
vacíos. A temperaturas superiores, los niveles de energía
inferior a m pero próximos
a él comienzan a despoblarse en beneficio de los que
ponen una energía superior. Podemos observar que para
cualquier temperatura T > 0 ºC se tiene:
y, por tanto,
los estados con energía menor que la del nivel de Fermi,
siempre tienen (ni/gi) > 1/2 y los
que poseen una energía superior, (ni/gi)
< 1/2.
Otro punto a señalar es que en rigor, las curvas de la
figura anterior sólo poseen significado para ciertos
valores de Ei, pues como sabemos, los posibles valores de la
energía de una partícula localizada en una cierta
región del espacio, tienen espectro discreto.
FIN
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