FÍSICA CUÁNTICA - MECÁNICA ESTADÍSTICA

RESUMEN DE MECÁNICA ESTADISTICA

Principio de indistinguibilidad de las partículas idénticas

Según la mecánica estadística clásica, cada partícula de un sistema poseía una individualidad reconocible, a pesar de la identidad de sus propiedades físicas.

En la mecánica cuántica, sin embargo, la situación cambia por completo, conforme se sigue directamente del principio de indeterminación de Heisenberg, según el cual la precisión con que pueden determinarse las coordenadas de posición (x,y,z) y de cantidad de movimiento (p_x , p_y , p_z) viene limitada por las condiciones:



con constante de Plank

En virtud de este principio, el concepto de trayectoria de la partícula pierde por completo su sentido.
Así pues, no existe por principio posibilidad ninguna de seguir por separado cada una de las partículas idénticas y con ello distinguirlas. En mecánica cuántica las partículas idénticas pierden por completo su individualidad. La identidad de las partículas en lo que concierne a sus propiedades físicas tiene entonces un sentido muy profundo en mecánica cuántica: conduce a la indistinguibilidad completa de las partículas.

Este es el llamado principio de indistinguibilidad de las partículas y representa un papel fundamental en el estudio mecánico-cuántico de un sistema constituido por partículas idénticas.

Según este principio, en un sistema de partículas idénticas solo son posibles aquellos estados que no cambian cuando se intercambian entre si dos partículas idénticas. Como consecuencia, no importa que partícula está en qué estado, sino únicamente cuantas partículas estan en cada estado.
Consideremos un sistema constituido por N partículas idénticas y sea:



la función de onda del sistema, donde ε_i representa el conjunto de todas las coordenadas de la partícula i (traslación y rotación).

Por el principio de indistinguibilidad, la función de onda que se obtiene al intercambiar entre sí dos partículas debe representar el mismo estado que la función de onda original. esto equivale a decir que la función de onda del sistema puede variar tan sólo en un factor de fase carente de importancia, es decir:



donde α es una constante real. El resultado de permutar de nuevo las dos partículas es volver al estado inicial, mientras que la función queda multiplicada por e^2iα y, por tanto:



Se presentan entonces dos posibilidades: la función de onda o es simétrica (no cambia en absoluto como resultado de la permutación de las dos partículas) o es antisimétrica (cambio de signo al efectuar la permutación).

El que un sistema de partículas idénticas venga descrito por una función de onda simétrica o antisimétrica depende de la natrualeza de las partículas que lo componen. A las partículas que se describen mediante funciones antisimétricas se les llama fermiones y a las partículas que se describen mediante funciones simétricas se les llama bosones. La mecánica cuántica relativista demuestra que las partículas de "spin" semientero son fermiones y las de "spin" entero son bosones. Ejemplos de bosones son los fotones y las moléculas de He⁴, mientras que ejemplos de fermiones son los neutrones, propones, electrones y las moléculas de He³.

Consideremos un sistema de fermiones en el que dos fermiones idénticos "i" y "j" se encuentran en el mismo estado. Tenemos entonces:



ya que si "i" y "j" están en el mismo estado, las coordenadas jugarán el mismo papel en la función de onda.
Al mismo tiempo y debido a que un sistema de fermiones viene descrito por una función de onda antisimétrica,



y combinando ambos resultados obtenemos:



que tiene sentido físico y expresa matemáticamente el llamado principio de exclusión de Pauli: En un sistema de fermiones no pueden existir dos o más partículas idénticas en el mismo estado cuántico.

Microestados y macroestados.-

Consideremos un sistema de N partículas independientes. Cada partícula puede estar en cierto estado cuántico,

Ψ₁ , Ψ₂ , ...

alguno de los cuales puede coresponder a un nivel energético degenerado (esto significa que algún autovalor de la función de onda puede tener multiplicidad superior a 1). Un nivel energetico lo representaremos por una celda subdividida en compartimentos. El número de compartimentos es igual al orden de degeneración del nivel energético.

La hipótesis fundamental que hacemos es considerar que el comportamiento macroscópico del sistema depende solamente de cuantas partículas existen en cada celda y no de su distribucion entre los diferentes estados cuánticos (compartimentos) correspondientes al mismo nivel energético (celda).
Definimos entonces un "macroestado" del sistema especificando cuantas partículas existen en cada celda, mientras que un "microestado" es la especificación de cuantas partículas existen en cada compartimento de una celda.

Debido al principio de indistinguibilidad de las partículas, estas no pueden ser numeradas y, por tanto, si los niveles energéticos no fuesen degenerados se identificarían los microestados con los macroestados. Como ejemplo, supongamos un sistema de 2 partículas que pueden estar en dos niveles energéticos, 1 y 2, con degeneraciones respectivas g₁ = 2 y g₂ = 3. Según lo dicho, existen tres posibles microestados :

las dos partículas están en el nivel 1 : (2 , 0)
las dos partículas están en el nivel 2 : ( 0 , 2)
cada partícula está en un nivel (celda) : (1 , 1)

a cada macroestado le corresponden, por tanto, varios microestados. Estidiamos ese concepto

Estadística de Fermi - Dirac