RESUMEN
DE MECÁNICA ESTADISTICA
Principio de indistinguibilidad de las partículas
idénticas
Según la mecánica estadística clásica,
cada partícula de un sistema poseía una individualidad
reconocible, a pesar de la identidad de sus propiedades físicas.
En la mecánica cuántica, sin embargo, la situación
cambia por completo, conforme se sigue directamente del principio
de indeterminación de Heisenberg, según el cual
la precisión con que pueden determinarse las coordenadas
de posición (x,y,z) y de cantidad de movimiento (px
, py , pz) viene limitada por las condiciones:
con 
constante
de Plank
En virtud de este principio, el concepto de trayectoria de la
partícula pierde por completo su sentido.
Así pues, no existe por principio posibilidad ninguna de
seguir por separado cada una de las partículas idénticas
y con ello distinguirlas. En mecánica cuántica las
partículas idénticas pierden por completo su individualidad.
La identidad de las partículas en lo que concierne a sus
propiedades físicas tiene entonces un sentido muy profundo
en mecánica cuántica: conduce a la indistinguibilidad
completa de las partículas.
Este es el llamado principio de indistinguibilidad de las partículas
y representa un papel fundamental en el estudio mecánico-cuántico
de un sistema constituido por partículas idénticas.
Según este principio, en un sistema de partículas
idénticas solo son posibles aquellos estados que no cambian
cuando se intercambian entre si dos partículas idénticas.
Como consecuencia, no importa que partícula está
en qué estado, sino únicamente cuantas partículas
estan en cada estado.
Consideremos un sistema constituido por N partículas idénticas
y sea:
la función de onda del sistema, donde ei
representa el conjunto de todas las coordenadas de la partícula
i (traslación y rotación).
Por el principio de indistinguibilidad, la función de onda
que se obtiene al intercambiar entre sí dos partículas
debe representar el mismo estado que la función de onda
original. esto equivale a decir que la función de onda
del sistema puede variar tan sólo en un factor de fase
carente de importancia, es decir:
donde a es una constante real. El resultado
de permutar de nuevo las dos partículas es volver al estado
inicial, mientras que la función queda multiplicada por
e2ia y, por tanto:
Se presentan entonces dos posibilidades: la función de
onda o es simétrica (no cambia en absoluto como resultado
de la permutación de las dos partículas) o es antisimétrica
(cambio de signo al efectuar la permutación).
El que un sistema de partículas idénticas venga
descrito por una función de onda simétrica o antisimétrica
depende de la natrualeza de las partículas que lo componen.
A las partículas que se describen mediante funciones antisimétricas
se les llama fermiones y a las partículas que se describen
mediante funciones simétricas se les llama bosones. La
mecánica cuántica relativista demuestra que las
partículas de "spin" semientero son fermiones
y las de "spin" entero son bosones. Ejemplos de bosones
son los fotones y las moléculas de He4, mientras
que ejemplos de fermiones son los neutrones, propones, electrones
y las moléculas de He3.
Consideremos un sistema de fermiones en el que dos fermiones idénticos
"i" y "j" se encuentran en el mismo estado.
Tenemos entonces:
ya que si "i" y "j" están en el mismo
estado, las coordenadas jugarán el mismo papel en la función
de onda.
Al mismo tiempo y debido a que un sistema de fermiones viene descrito
por una función de onda antisimétrica,
y combinando ambos resultados obtenemos:
que tiene sentido físico y expresa matemáticamente
el llamado principio de exclusión de Pauli: En un sistema
de fermiones no pueden existir dos o más partículas
idénticas en el mismo estado cuántico.
Microestados y macroestados.-
Consideremos un sistema de N partículas independientes.
Cada partícula puede estar en cierto estado cuántico,
alguno de los cuales puede coresponder a un nivel energético
degenerado (esto significa que algún autovalor de la función
de onda puede tener multiplicidad superior a 1). Un nivel energetico
lo representaremos por una celda subdividida en compartimentos.
El número de compartimentos es igual al orden de degeneración
del nivel energético.
La hipótesis fundamental que hacemos es considerar que
el comportamiento macroscópico del sistema depende solamente
de cuantas partículas existen en cada celda y no de su
distribucion entre los diferentes estados cuánticos (compartimentos)
correspondientes al mismo nivel energético (celda).
Definimos entonces un "macroestado" del sistema especificando
cuantas partículas existen en cada celda, mientras que
un "microestado" es la especificación de cuantas
partículas existen en cada compartimento de una celda.
Debido al principio de indistinguibilidad de las partículas,
estas no pueden ser numeradas y, por tanto, si los niveles energéticos
no fuesen degenerados se identificarían los microestados
con los macroestados. Como ejemplo, supongamos un sistema de 2
partículas que pueden estar en dos niveles energéticos,
1 y 2, con degeneraciones respectivas g1 = 2 y g2
= 3. Según lo dicho, existen tres posibles microestados
:
las dos partículas están en el nivel
1 : (2 , 0)
las dos partículas están en el nivel 2 : ( 0 ,
2)
cada partícula está en un nivel (celda) : (1 ,
1)
a cada macroestado le corresponden, por tanto, varios microestados.
Estidiamos ese concepto
Estadística de Fermi
- Dirac
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