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MONOGRAFIAS CIENTÍFICAS
MECÁNICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA - BARRERA DE POTENCIAL

 
RESUMEN DE MECÁNICA CUÁNTICA

Análisis de las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios sistemas unidmensionales ...

POTENCIAL CONSTANTE (capítulo previo)

ESCALON DE POTENCIAL (capítulo previo)

BARRERA RECTANGULAR DE POTENCIAL

Vamos a considerar un estado estacionario de energía E < Vo correspondiente al caso en que una partícula viaja hacia la izquierda. El esquema del proceso viene representado en la figura adjunta.
Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para cada región, son:

mecánica cuántica

Podemos eliminar de la solución II la onda que viaja de izquierda a derecha, por no tener realidad física. De ese modo, C = 0.
La continuidad de ψ(x) y de su derivada primera para todo valor de x nos permite escribir:

mecánica cuántica

Aplicando estas condiciones obtenemos:

mecánica cuántica

Estas relaciones lineales y homogéneas entre los coeficientes podemos expresarlas en forma matricial:

mecánica cuántica

A partir de esta ecuación podemos obtener la expresión de la función de onda a ambos lados de la barrera. Una solución de interés se obtiene haciendo E = 0, que representa una onda incidente desd la derecha que se transmite a través de la barrera hacia la izquierda (efecto túnel). También encontramos una onda reflejada de amplitud A.

La ecuación matricial anterior nos sirve también para determinar el coeficiente de transmisión. Consideremos la densidad de corriente de probabilidad para la zona II; tenemos:

mecánica cuántica

Esta densidad de corriente ha de proceder de la zona en la que se encontraba la partícula antes de toparse con la barrera de potencial, pero no será igual porque tenemos que considerar los efectos de dicha barrera. Podemos poner, según eso:

mecánica cuántica

Donde B es el coeficiente que corresponde a la solución de la ecuación de onda para el caso en que la partícula se mueve hacia la izquierda en la zona I. Por definición escribimos:

mecánica cuántica

Para evaluar T nos vamos a servir de la ecuación matricial obtenida anteriormente. De ella despejamos B en función de D. Resolviendo por Cramer, obtenemos que el determinante de la matriz de los coeficientes y el determinante correspondiente al término B son, respectivamente:

mecánica cuántica

Recordando que B = δB/δ y tomando adjuntos, resulta finalmente:

mecánica cuántica

De donde resulta fácil obtener el valor de T, que recordando la relación:

mecánica cuántica

Se puede escribir en la forma:

mecánica cuántica

Para el caso de una barrera alta y ancha (k1a >> 1) podemos escribir:

mecánica cuántica

Por ser 1 despreciable frente a exp(2k1a) y tender exp(-2k1a) a cero.
Sustituyendo el valor anterior en la expresión que nos da T y operando, nos queda

mecánica cuántica

Por último, considerando la aproximación:

mecánica cuántica

El último factor desaparece y nos queda:

mecánica cuántica
 
 


tema escrito por: José Antonio Hervás