RESUMEN DE MECÁNICA CUÁNTICA

Análisis de las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios sistemas unidmensionales ...

POTENCIAL CONSTANTE (capítulo previo)

ESCALON DE POTENCIAL (capítulo previo)

BARRERA RECTANGULAR DE POTENCIAL

Vamos a considerar un estado estacionario de energía E < Vo correspondiente al caso en que una partícula viaja hacia la izquierda. El esquema del proceso viene representado en la figura adjunta.
Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para cada región, son:



Podemos eliminar de la solución II la onda que viaja de izquierda a derecha, por no tener realidad física. De ese modo, C = 0.
La continuidad de ψ(x) y de su derivada primera para todo valor de x nos permite escribir:



Aplicando estas condiciones obtenemos:



Estas relaciones lineales y homogéneas entre los coeficientes podemos expresarlas en forma matricial:



A partir de esta ecuación podemos obtener la expresión de la función de onda a ambos lados de la barrera. Una solución de interés se obtiene haciendo E = 0, que representa una onda incidente desd la derecha que se transmite a través de la barrera hacia la izquierda (efecto túnel). También encontramos una onda reflejada de amplitud A.

La ecuación matricial anterior nos sirve también para determinar el coeficiente de transmisión. Consideremos la densidad de corriente de probabilidad para la zona II; tenemos:



Esta densidad de corriente ha de proceder de la zona en la que se encontraba la partícula antes de toparse con la barrera de potencial, pero no será igual porque tenemos que considerar los efectos de dicha barrera. Podemos poner, según eso:



Donde B es el coeficiente que corresponde a la solución de la ecuación de onda para el caso en que la partícula se mueve hacia la izquierda en la zona I. Por definición escribimos:



Para evaluar T nos vamos a servir de la ecuación matricial obtenida anteriormente. De ella despejamos B en función de D. Resolviendo por Cramer, obtenemos que el determinante de la matriz de los coeficientes y el determinante correspondiente al término B son, respectivamente:



Recordando que B = δ_B/δ y tomando adjuntos, resulta finalmente:



De donde resulta fácil obtener el valor de T, que recordando la relación:



Se puede escribir en la forma:



Para el caso de una barrera alta y ancha (k₁a >> 1) podemos escribir:



Por ser 1 despreciable frente a exp(2k₁a) y tender exp(-2k₁a) a cero.
Sustituyendo el valor anterior en la expresión que nos da T y operando, nos queda



Por último, considerando la aproximación:



El último factor desaparece y nos queda: