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MONOGRAFIAS CIENTÍFICAS
MECÁNICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA - ESCALÓN DE POTENCIAL

 
RESUMEN DE MECÁNICA CUÁNTICA

Análisis de las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios sistemas unidmensionales ...

POTENCIAL CONSTANTE (Capítulo anterior)

ESCALON DE POTENCIAL

Consideremos las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el caso de un escalón de potencial. Se puede demostrar que no existen soluciones físicamente aceptables si E < 0. Consideremos en primer lugar soluciones para energías 0 < E < Vo:

mecánica cuántica

Puesto que ψ(k) debe permanecer finita.
Cuando x tiende a infinito, el parámetro D ha de ser nulo y, por lo tanto, en x > 0 podemos escribir:

mecánica cuántica

Por la continuidad de ψ(k) y su derivada primera en x = 0, tenemos:

mecánica cuántica

De donde resulta:

mecánica cuántica

Sustituyendo los valores de los coeficientes en las soluciones, tenemos:

mecánica cuántica

La solución encontrada representa una onda plana incidente desde la izquierda, con una amplitud A, y una onda reflejada que se propaga hacia la izquierda con una amplitud B. según la relación entre los coeficientes tenemos mecánica cuántica, que nos indica que existe un reflexión total en x = 0. Aunque ψ(x) tiene un valor finito en la región x > 0, decae exponencialmente a medida que penetramos en dicha región.

Una partícula incidente desde la izquierda, que se moviera clásicamente y representada por un paquete de ondas construido mediante superposición de funciones de onda dadas según 16, se reflejaría en el escalón de potencial (x = 0) dando una probabilidad nula de encontrarse en la región x > 0.

Consideremos ahora el caso E > Vo. Si la partícula se considera desde el punto de vista clásico, pasa el escalón de potencial sin cambiar su velocidad o su dirección. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger son en este caso:

mecánica cuántica

Si consideramos la solución particular D = 0, entonces la solución A•exp(ik1x) representa una onda plana incidente desde la izquierda que se refleja y transmite en x = 0.
Por la continuidad de ψ(x) y su derivada primera en x = 0, tenemos:

mecánica cuántica

De donde resulta:

mecánica cuántica

Si calculamos la corriente de densidad de probabilidad para estas ondas, tenemos de su expresión (4):

mecánica cuántica

La igualdad de estos dos valores está asegurada por la ecuación de continuidad que, para un estado estacionario y en una dimensión, se reduce a (dj/dx = 0). Por lo tanto:

mecánica cuántica

Por analogía con la óptica, al primer término de la suma anterior se le llama coeficiente de reflexión, R, y al segundo, coeficiente de transmisión, T. es fácil ver que se tiene:

mecánica cuántica

Puede demostrarse que los coeficientes de reflexión y transmisión son los mismos para una onda incidente desde la izquierda que para una onda incidente desde la derecha.

BARRERA RECTANGULAR DE POTENCIAL
 
 



tema escrito por: José Antonio Hervás