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MONOGRAFIAS CIENTÍFICAS
MECÁNICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA - DENSIDAD DE PROBABILIDAD

 
RESUMEN DE MECÁNICA CUÁNTICA

La ecuación fundamental de la mecánica cuántica no relativista para la dinámica de una partícula, sin tener en cuenta el spin, es la ecuación de Schrödinger o ecuación de ondas:

mecánica cuántica

Donde mecánica cuántica representan, respectivamente, la energía potencial, la constante de Plank y el operador laplaciano y ψ(r, t) es la llamada función de onda, que nos da toda la información sobre el estado físico de la partícula en un instante dado.
La conexión básica entre las propiedades de la función de onda, ψ(r, t) , y el comportamiento de la partícula asociada está expresada en términos de la densidad de probabilidad, P(r, t). Según un postulado enunciado por Max Born, la relación entre la densidad de probabilidad y la función de onda, es que la cantidad:

mecánica cuántica

Es proporcional a la probabilidad de que al realizar una medida de las coordenadas de la partícula, los valores de estas pertenezcan al elemento diferencial de volumen dv.
Si además, ψ(r, t) cumple la llamada condición de normalización,

mecánica cuántica

Entonces la expresión (2) “es” la probabilidad de que al realizar una medida de las coordenadas los valores de estas pertenezcan al sistema de volumen dv.
Se puede demostrar que si ψ(r, t) está normalizada para t = 0, permanece normalizada para cualquier otro instante de tiempo. Para llegar a ello, tomamos la ecuación de Schrödinger en cualquiera de sus dos formas:

mecánica cuántica

Para una dimensión tendremos:

mecánica cuántica

Derivando respecto al tiempo el integrando de (3), obtenemos:

mecánica cuántica

Y sustituyendo en la integral

mecánica cuántica

Para que esta función permanezca constante es necesario y suficiente que se tenga:

mecánica cuántica

Para realizar la integración lo hacemos por partes. Poniendo:

mecánica cuántica

Resulta:

mecánica cuántica

Esta última integral también puede ser integrada por partes:

mecánica cuántica

Resultando:

mecánica cuántica

Con lo que, finalmente:

mecánica cuántica

Pero esta última integral es justamente el primer término del primer miembro de (I); por lo tanto, podemos escribir:

mecánica cuántica

Y esta última igualdad es cierta porque ψ(r, t) es una función de onda que cumple:
    1) ψ(r, t) y su primera derivada son continuas en el espacio
    2) ψ(r, t) tiende a cero para q tendiendo a + infinito o – infinito.
Cuando ψ(r, t) no es de cuadrado integrable, la función de onda no se puede normalizar. En tales casos mecánica cuánticano determina los valores absolutos de las probabilidades de las coordenadas, pero la razón de los valores de mecánica cuántica en dos puntos distintos del espacio, determinan la probabilidad relativa de las coordenadas.
Puede demostrarse que la densidad de probabilidad, P(r,t) = mecánica cuánticasatisface la ecuación de continuidad:

mecánica cuántica

Donde j recibe el nombre de densidad de corriente de probabilidad.
La demostración podemos hacerla teniendo en cuenta el ejemplo visto anteriormente, para el que habíamos obtenido (salvo límites finitos en la integral):

mecánica cuántica

Esto, simbólicamente y pasando a tres coordenadas, se puede escribir:

mecánica cuántica

Pero teniendo en cuenta las propiedades de los operadores diferenciales, resulta que la divergencia de la densidad de corriente de probabilidad vale:

mecánica cuántica

Y esto es justamente el integrando cambiado de signo de (*) por lo que tendremos:

mecánica cuántica

Y en forma diferencial:

mecánica cuántica

Que es la expresión buscada.
El problema que se nos plantea es la obtención de soluciones de la ecuación (1) tales que para t = 0 nos den una función de onda, ψ(r, 0) determinada. Como la variable t no aparece explícitamente en dicha ecuación, utilizaremos el método d separación de variables para resolverla. Tenemos:

mecánica cuántica

Y sustituyendo esta expresión en (1):

mecánica cuántica

El primer miembro de esta ecuación depende únicamente de t, mientras que el segundo depende únicamente de r, por lo que podemos igualarlas a una constante, E:

mecánica cuántica

De la primera de ellas obtenemos:

mecánica cuántica

Puede demostrarse además que E es un número real que se puede identificar con el valor esperado de la energía total de la partícula para el estado ψ(r, t) .
Según lo visto, las soluciones de la ecuación (1) serán de la forma:

mecánica cuántica

Siendo ψ(r) la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Hemos de observar que para los estados determinados por las soluciones (8) el valor esperado de cualquier magnitud física que no depende explícitamente del tiempo, es constante. Por lo tanto, decimos que las funciones de onda tales como (8) representan estados estacionarios.

Las condiciones de regularidad que, por consideraciones físicas, debemos imponer a las soluciones ψ(r) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (6) dan lugar a que en muchas ocasiones, dichas soluciones dependen del parámetro E, no de forma continua, sino en valores aislados.

Los valores de E para los cuales existen soluciones de (6) compatibles con las condiciones de contorno impuestas, constituyen el llamado espectro de energía de la ecuación de Schrödinger. Este espectro puede estar constituido por valores aislados (niveles d energía discretos) o por intervalos continuos de valores.
Las funciones de onda de estados estacionarios son soluciones particulares de la ecuación de ondas. La solución general de (1) es de la forma:

mecánica cuántica

Donde sumatorio implica integración si una parte o todo el espectro de energía es continuo. Cuando la ecuación de Schrödinger tiene más de una solución independiente para un mismo valor de E, la expresión anterior puede incluir el mismo valor de la energía más de una vez, y se dice que dicho nivel energético está degenerado.
Para que (9) sea la solución buscada es necesario que la función de onda de un estado inicial determinado puede descomponerse en la forma:

mecánica cuántica

Cuando esta expresión es posible, decimos que el conjunto de soluciones estacionarias ψE(r) de la ecuación de Schrödinger es completo.

Las condiciones para dicha descomposición vienen impuestas por la forma de los potenciales V(r) que aparecen comúnmente en la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, diremos que los potenciales V(r) que aparecen comúnmente en la ecuación permiten el desarrollo anterior para suficientes tipos de funciones, ψ(r, 0) .
Vamos a analizar ahora soluciones de la ecuación de Schrödinger para diferentes tipos de potenciales unidimensionales.

POTENCIAL CONSTANTE

ESCALON DE POTENCIAL

BARRERA RECTANGULAR DE POTENCIAL
 
 


tema escrito por: José Antonio Hervás