Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS TÉCNICAS
GRAVEDAD

INTERACCIÓN GRAVITATORIA

 
Todos los fenómenos que se observan en el universo son el resultado de interacciones o fuerzas. Todo tipo de interacción puede considerarse dentro de cuatro tipos fundamentales. En orden decreciente de intensidad son:

    Interacción nuclear fuerte: 1
    Interacción nuclear debil: 10-14
    Interacción electromagnética:10-30
    Interacción gravitatoria:10-40
El orden de intensidad se ha considerado respecto a las interacciones nucleares fuertes.
Los dos primeros tipos de interacciones se desarrollan en el mundo microscópico y su efecto alcanza valores muy pequeños (del orden de 10-12cm).

Los dos segundos se desarrollan en el mundo microscópico y sus efectos tienen lugar para distancias superiores a 10-8 cm.
Las interacciones nucleares fuertes son las responsables de la unión de protones y neutrones (conocidos como nucleones), dentro del núcleo atómico.
La interacción nuclear débil es la responsable de ciertos procesos entre las partículas fundamentales, tales como la desintegración beta.
La interacción electromagnética es la responsable de la mayoría de los procesos que observamos a nuestro alrededor incluyendo los procesos químicos y biológicos, y son unas interacciones entre átomos y moléculas.
La interacción gravitatoria se pone de manifiesto en el movimiento planetario y en el movimiento de la materia en conjunto. Es la mas débil de todas las interacciones conocidas. Fue la primera que se estudio (por Newton; aunque su estudio solo vale para astros de nuestra galaxia, no para el movimiento entre galaxias).


MASA INERTE Y MASA GRAVITATORIA

El modelo de Newton nos introduce una magnitud fundamental que es la masa gravitacional. La masa gravitaciones se define como una propiedad que tienen los cuerpos, la cual utilizamos para explicar la interacción gravitatoria.
La realidad de la interacción gravitatoria se demuestra con la llamada balanza de torsión de Cavendich.

balanza de torsión, o balanza de Cavendich

Cuando las masa m’ se colocan cerca de las masas m, su atracción gravitatoria produce un par en la barra horizontal que da lugar a la torsión de la fibra OC. El equilibrio se establece cuando los pares gravitatorio y torsional se igualan. El par torsional es proporcional al ángulo \(\theta\), que se mide por la deflexión de un rayo reflejado en un espejo situado en la fibra. Repitiendo el experimento a varias distancias r, y usando diferentes masas m y m;se puede verificar la ley.
Para explicar este hecho, decimos que los cuerpos disponen de masa gravitacional, la cual se define operacionalmente de la siguiente forma: cuando las fuerzas de torsión son mayores para unos cuerpos que para otros en las mismas condiciones, se dice que lso primeros tienen una masa gravitatoria superior a los segundos, es decir se tiene:

    \(\displaystyle \frac{f_A}{f_B}= \frac{m_A}{m_B}\)

Experimentalmente se llega a las siguientes conclusiones:

    1ª.- Las fuerzas de interacción gravitatoria son centrales
    2ª.- Las fuerzas son atractivas.
    3ª.- Son directamente proporcionales a las masas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

Podemos poner, por tanto:

    \(\displaystyle F_1 = G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{21} \quad ; \quad F_2 = G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12} \)

Como son fuerzas instantáneas, se tendrá F1 = -F2, de acuerdo con el principio de acción y reacción, y por lo tanto, la velocidad de propagación es infinita.
Según estas consideraciones, Newton no introduce para nada la masa inerte de los cuerpos.


Vamos a ver si podemos aplicar esta ley a cuerpos en movimiento, como es el caso de los planetas. Para ello consideramos las leyes de Kepler:

    1ª.- Los planetas describen orbitas elípticas, estando el sol en uno de los focos.

    2ª.- Como las trayectorias son planas, las velocidad aerolar el constante y las fuerzas son centrales.

    3ª.- Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al sol.

Esta última ley puede expresarse por la siguiente ecuación:

    \(T^2 = cr^3 \)

Donde T es el periodo de revolución, c una constante de proporcionalidad y r la distancia promedio planeta-sol.
Al ser las trayectorias planas, las fuerzas son centrales; por otro lado, si las trayectorias son elípticas y la velocidad es constante, se tiene:

    \(a_T = 0\)

Por lo que la fuerza será únicamente debida a la aceleración normal, es decir:

    \(\displaystyle F = ma = \frac{mv^2}{r}\)

Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en mg y considerando solamente la fuerza que actúa sobre, siendo F una fuerza de atracción, como se ha dicho, tiene dirección opuesta al vector\(\vec{r}=\overrightarrow{OA}= r\hat{r}\) , donde \(\hat{r}\) es el vector unitario en la dirección de OA ; por consiguiente, podemos escribir :

    \(\displaystyle \vec{F} = - m_i·\frac{v^2}{r}·\hat{r}\)

Y teniendo en cuenta que v/r =w, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = - m_i·w^2·r·\hat{r} = - m_i·\frac{4·\pi^2}{r^2}·r·\hat{r}\)

Según la definición de velocidad angular, es decir: w = ángulo barrido/tiempo.
Introduciendo ahora la tercera ley de Kepler, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = - \frac{4·\pi^2}{c}·\frac{m_i·r}{r^3}·\hat{r}= - K'\frac{m_i}{r^2}·\hat{r} \quad \textrm{donde } K' = 4\pi^2/c \)

Si es mi la que esta fija, tenemos:

    \(\displaystyle \vec{F} = - K·\frac{m_G}{r^2}·\hat{r}\)

Según Newton la ley de gravitación se escribe:

    \(\displaystyle \vec{F} = - G·\frac{m_i·m_G}{r^2}·\hat{r}\)

Por lo tanto, se tiene:

    \(K = + G·m_i\)

Por lo tanto, la masa gravitacional y la masa inerte no son en principio magnitudes iguales, y se tiene la relación mG = c.mi
Se define la masa gravitatoria como una propiedad que tienen los cuerpos que interaccionan y la masa inerte es una propiedad de los cuerpos, asociada al movimiento, y se cumple la siguiente ley:
La masa gravitacional es directamente proporcional a la masa inerte: mG = c.mi
Por lo tanto, teniendo en cuenta la expresión de la ley de gravitación universal, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m_{G1}·m_{G2}}{r^2}·\hat{r} = - G·c^2·\frac{m_{i1}·m_{i2}}{r^2}·\hat{r} = \)
    \(\displaystyle =- K·\frac{m_{i1}·m_{i2}}{r^2}·\hat{r} \)

Para que G será la unidad, se debería definir la masa gravitacional como aquella con la que dos cuerpos de igual masa se atraen a la distancia de un metro con una fuerza de un newton. Pero en esas condiciones la unidad de masa gravitación seria enorme.
Por otro lado, para que K valga 1, entonces tendríamos que hacer c = 1 , y la masa gravitacional coincidiría con la masa inerte.
Es mucho mas practico definir la masa de forma que se tenga \(\vec{F}= m_i\vec{a}\), es decir:\(m_i = m_G \Rightarrow c = 1\)

Para que esto sea así, la constante gravitacional debe tomar un valor determinado: \(G = 6,6710^{-11}Nm^2Kgr^{-2}\)

Observamos entonces que G tiene un valor muy pequeño, y en las interacciones entre moléculas la interacción gravitatoria es prácticamente nula, por eso, para este tipo de interacciones se desprecia G.
Por lo tanto, según las consideraciones anteriores, la fuerza con que se atraen o interaccionan dos cuerpos es:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m_2·m_2}{r^2}·\hat{r} \)


CAMPO GRAVITATORIO

Todo cuerpo es origen de un campo gravitatorio. El campo gravitatorio es una propiedad que tiene el espacio físico y que se pone de manifiesto por la acción de fuerzas.
Se piensa que las atracciones gravitatorias de dos cuerpos se propagan en el campo y se extienden por el medio en forma de ondas. Las interacciones no son, pues, instantáneas como se ha dicho anteriormente. El cuerpo 1 perturba al medio que tiene a su alrededor y las perturbaciones se van trasmitiendo en forma de ondas al cuerpo 2. Hoy dia se sabe que las interacciones a distancia no tienen sentido.
El modelo de Newton explica la situación una vez que los cuerpos se encuentran en el campo. Como la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la de propagación de las reacciones, se puede considerar despreciable el tiempo de retardo, es por eso que el modelo de Newton asegura que la acción de los cuerpo es instantánea e independiente del tiempo.
Decimos que una cierta región R del espacio tiene propiedad de campo gravitatorio cuando al colocar un cuerpo de masa m’ en ella, apreciamos que sobre el actúa una fuerza de valor:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m·m'}{r^2}·\hat{r} \)

La intensidad del campo gravitatorio es una medida local y se define como la fuerza gravitacional por unidad de masa:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = \frac{\vec{F}}{m'} \)

Cuya dirección y sentido son las de \(\vec{F}\) y su modulo vale F/m’
Por lo tanto, el valor de la fuerza, al haber introducido el concepto de intensidad gravitatoria será:

    \( \vec{F} = m'·\vec{\gamma} \)

Vamos a ver a continuación la relación existente entre el campo y sus fuentes.
Supongamos que el campo tiene una sola fuente; según el modelo de Newton, tendremos:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m·m'}{r^2}·\hat{r} \)

Por lo tanto, según hemos definido la intensidad, se tendrá:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = \frac{\vec{F}}{m'} = - G·\frac{m·m'}{m'·r^2}·\hat{r} = - G·\frac{m}{r^2}·\hat{r}
    \)

De donde se deduce que el campo es radial, atractivo e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Si admitimos el principio de superposición, obtendremos que la intensidad de un campo creado por un numero n de partículas o fuentes puntuales será:

    \(\displaystyle \vec{F} = \sum_i^n \vec{F}_i = -G\sum_i^n \frac{m_i·m'}{r_i^2}·\hat{r}_i \)

De donde la intensidad del campo valdrá:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = \frac{\vec{F}}{m'} = -G\sum_i^n \frac{m_i}{r_i^2}·\hat{r}_i\)

Si se trata de una masa continua de gran dimension, dividimos la masa en porciones diferenciales dm y el campo resultante sera:

    \(\displaystyle d\vec{\gamma} = -G·\frac{dm}{r^2}·\hat{r}\)

Con lo que para todo el volumen tendremos:

    \(\displaystyle \int d\vec{\gamma} = -G\int\frac{dm}{r^2}·\hat{r} =-G \int\int\int \rho\frac{d\tau}{r^2}·\hat{r} \)

Siendo \(\rho\) la densidad y \(d\tau\) un diferencial de longitud.
Se puede tambien definir el campo como el agente que transporta la energia y el momento lineal de un cuerpo a otro.


POTENCIAL GRAVITATORIO

Otro concepto importante que hemos de considerar es el de potencial gravitatorio.El campo gravitatorio es un campo potencial.
Hemos visto que la intensidad del campo sobre un cuerpo de dimensiones reducidas,con respecto a la distancia, viene dado por la expresión:

    \(\displaystyle\vec{\gamma} = G·\frac{m_i}{r_i^2}·\hat{r}\)

Vamos a calcular la circulación del campo en un desplazamiento cualquiera \(\overrightarrow{dl}\).

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}d\vec{l}·\hat{r} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}dr
    \)

Donde dr es la variación de distancia desde el centro del cuerpo hasta el origen.Continuando tenemos:

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}dr= -Gm_i\frac{dr}{r^2} = -Gm_id\left(- \frac{1}{r}\right) \)

Pues según sabemos por analisis, tenemos

    \(\displaystyle du = u'·dx \rightarrow d\left(-\frac{1}{r}\right) = \frac{dr}{r^2}\)

Como G y mi permanecen constantes, podemos hacer:

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -d\left(-G· \frac{m_i}{r_i}\right)\Rightarrow V_i = - G\frac{m_i}{r_i} + C \)

Donde V recibe el nombre de potencial gravitatorio y viene definido como energia potencial por unidad de masa colocada en el campo gravitacional, o bien el trabajo necesario para trasladar un cuerpo desde el punto donde queremos hallar su potencial hasta el infinito, e igualmente el trabajo necesario para tener un cuerpo desde el infinito hasta un punto P en contra de la accion del campo.
El campo total creado por varias particulas, según el principio de superposición sera:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = \sum_i^n \vec{\gamma}_i\)

Y por lo tanto, el potencial gravitatorio valdra:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}·d\vec{l} = \sum_i^n\vec{\gamma}_id\vec{l} = - G·\frac{m_i}{r^2}·r_id\vec{l} =
    \)
    \(\displaystyle = -d\left(\sum _i^n - G\frac{m_i}{r}\right) = d \sum_i^n V_i = - dV \)

Y finalmente integrado queda:

    \(\displaystyle V = \sum_i^n V_i = - G \sum_i^n \frac{m_i}{r_i} + C\)

Normalmente se tiene C = 0 ; esto quiere decir que los puntos se consideran muy alejados del campo.
Si el campo esta creado por una distribución continua de masas, se tiene:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= - G\int \frac{dm}{r^2}\hat{r}\)

Y entonces se tiene:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\hat{r}·d\vec{l}\int \frac{dm}{r^2}= -G·dr \int\frac{dm}{r^2} =
    \)
    \(\displaystyle = -d\left(-G\int\frac{dm}{r}\right) = - dV
    \)

Integrado tenemos:

    \(\displaystyle V = -G\int\frac{dm}{r}\)

Un campo gravitatorio puede representarse por líneas de campo o superficies equipotenciales.
Las líneas de campo gravitacional son líneas que en todo punto son tangentes al campo, tienen dirección radial y nacen en las masas; no existen sumideros, las líneas se dirigen al infinito.
Si el cuerpo que crea el campo es puntual, las superficies equipotenciales son esféricas. Las superficies equipotenciales son aquellos en las que existe un mismo valor de potencial gravitatorio.
Sabemos, por demostraciones anteriores que la derivada de una función \(\emptyset\) definida en el espacio vale:

    \(d\emptyset = \overrightarrow{grad}\emptyset · \overrightarrow{dl}
    \)

Siendo dl un desplazamiento infinitesimal.

Dirección del gradiente

Si consideramos que V es una función definida en el espacio y cuyo valor viene dado por la expresión.

    \(dV = \left(- \vec{\gamma}\right) d\vec{l}\)

Podemos poner entonces:

    \(dV = \left(- \vec{\gamma}\right) d\vec{l} =\overrightarrow{grad} V· d\vec{l}\Rightarrow \vec{\gamma} = - \overrightarrow{grad} V \)

Por consiguiente el campo gravitacional el el gradiente cambiado de signo del potencial gravitacional.
La dirección del gradiente es por tanto perpendicular a las superficies equipotenciales, y el sentido hacia valores crecientes ya que V crece cuando r decrece.
El modulo del gradiente será:

    \(\displaystyle \frac{dV}{dr} = G\frac{m}{r^2}\)

Por lo tanto la intensidad del campo tendrá sentido hacia el centro, y como el gradiente crece cuando r decrece, como es \(\vec{\gamma} = - \overrightarrow{grad} V\), se tendrá que \(\vec{\gamma}\) decrece cuando r decrece.
Hemos visto entonces que se tiene: \(\vec{\gamma} d\vec{l}= - dV\)
Por otro lado, el trabajo es la circulación de la fuerza, es decir:

    \(\displaystyle \mathfrak{L} = \oint_A^B \vec{F}·d\vec{l}\)

Pero \(\vec{F}d\vec{l}\) vale:

    \(\vec{F}·d\vec{l} = m'·\vec{\gamma}·d\vec{l} =,- d(m'·V) = - dU\)

Llamando U al producto m'.V que es igual a :

    \(\displaystyle m'·V = -G\sum_i^n \frac{m·m'}{r_i}\textrm{, o bien } m'V = - G \int m' \frac{dm}{r_i}\)

Podemos decir que el trabajo desarrollado en un pequeño desplazamiento es igual a menos la diferencial de la energía potencial:

    \(\mathfrak{L} = \oint_A^B \vec{F}·d\vec{l}= - \int_A^B dU = U_A - U_B = - \triangle U \)

Como solo actúan fuerzas de interacción el campo es conservativo, y por tanto:

    \(\mathfrak{L} = \triangle E_c = - \triangle U \Rightarrow \triangle (E_c + U) = 0 \Rightarrow E_c + U = cte \)

APLICACIÓN. CALCULO DE LA VELOCIDAD DE FUGA

Para ello vamos a hacer la suposición de que la distribución de masas crea un campo exterior igual al que crearía una masa puntual colocada en el centro y con toda la masa del cuerpo concentrada en el.

velovidad de fuga

Si se lanza el cuerpo verticalmente, en el punto P se tendrá:

    \(\displaystyle E_p =- G·\frac{M·m}{R+a}\)

Y su energía cinética será:

    \(\displaystyle E_c = \frac{1}{2}m·v^2\)

Pero como se tiene: Ep + Ec = cte podemos poner:

    \(\displaystyle- G·\frac{M·m}{R+a} + \frac{1}{2}m·v^2 = Cte\)

Cuando Ec + Ep < 0 , si Ep crece Ec debe decrecer para que la suma permanezca cte.
Llegara entonces un momento en que Ec se hará nula y se tendrá:

    \(\displaystyle E = E_p = - G·\frac{M·m}{R+a}\)

El cuerpo se parara y retrocederá de nuevo.
Si el cuerpo es lanzado con velocidad que tenga componente tangencial describirá la elipse.
Si se lanza el cuerpo de tal forma que se tenga E = Ec + Ep = 0 ,o mayor que cero, se tendrá que cuando Ec aumenta, llegara a hacerse Ep = 0 , y según la definición de energía potencial, la partícula deberá encontrarse en el infinito.

    \(\displaystyle- G\frac{Mm}{R+a} + \frac{1}{2}mv^2 = 0 \Rightarrow 2G\frac{M}{R+a} = v^2 \Rightarrow \)
    \(\displaystyle \Rightarrow v = \sqrt{2G\frac{M}{R+a}} \)

El campo que existirá en el punto a será:

    \(\displaystyle\gamma_a = G·\frac{M}{(R+a)^2} \)

Con lo que podemos poner:

    \(\displaystyle 2G\frac{M}{R+a} = 2\gamma_a(R+a) \Rightarrow v_f = \sqrt{2\gamma_a(R+a)}\)

Si el cuerpo se lanza desde la superficie, se tendrá:

    \(v_f = \sqrt{2\gamma(R+a)} \)



FLUJO DEL CAMPO

Se define el flujo del campo gravitatorio como el producto escalar de la acción del campo por el vector dS, que es un elemento de superficie, es decir

    \(d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S}\)
masa que origina el campo

Con la notación que nosotros empleamos será:

    \(\displaystyle dV = -G\frac{m_i}{r_i^2}\hat{r}\times \overrightarrow{dS} = -G\frac{m_i}{r_i^2}dS_n \)

Donde dSn es el elemento que corresponde a la sección recta del área.

Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido, podemos poner:

    \(\displaystyle dw = \frac{dS_n}{R^2}\Rightarrow dV = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·dS_n =\)
    \(\displaystyle = G·m_i\left(-\frac{dS_n}{r_i^2} \right)= G·m_idw \)

El ángulo sólido se define como la porción del espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal.
Su medida se efectúa obteniendo el cociente de la superficie esférica interceptada por el cuadrado del radio de dicho esfera.
El flujo será positivo o negativo según que el ángulo sólido sea positivo o negativo, también podrá saberse que es positivo si desde una masa puntual se ve la cara interna de la superficie interceptada, y negativo si se ve la cara externa.

Cuando el ángulo sólido es pequeño, el area G se representa dS y no ha de ser necesariamente un casquete esférico, sino que puede ser una pequeña superficie plana perpendicular a la acción del campo.

flujo de campo

En el caso de que tenga una masa continua, el flujo sobre ella será:

    \(G·m_i\int dw \)
Si el punto es interior, el ángulo sólido valdrá:

    \(\displaystyle w = \frac{S}{R^2}= \frac{4\pi·R^2}{R^2}= 4·\pi \)

Con lo que podemos poner:

    \(\emptyset_i = G·m_i·4·\pi \)

Para determinar el flujo resultante caso de que el punto sea exterior a la masa, debemos tener en cuenta que el flujo pasa por dos superficies; en la primera de ellas será entrante y en la segunda saliente. Dividiendo el cuerpo en pequeñas porciones y tomando parejas que estén situadas antagónicamente, se ve que el flujo total ha de ser nulo.
Es decir, el flujo debido a los puntos exteriores de un cuerpo, es nulo.
Si aceptamos el principio de superposición, tenemos:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= \sum_i^n \vec{\gamma}_i \)

Y según hemos definido el flujo, tenemos:

    \(\displaystyle d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S} = \sum_i^n \vec{\gamma}_i·d\vec{S} =\sum_i^n d\emptyset_i \)

Es decir, si los campos se suman vectorialmente, los flujos se suman escalarmente.
\(\emptyset_i\) será el flujo creado por una de las masas puntuales.
El flujo total será el debido a los puntos interiores y exteriores, colocando el subíndice k en los puntos interiores y el j en los exteriores, tenemos:

    \(\displaystyle \emptyset = \sum_i^n \emptyset_i= \sum_k^n \emptyset_k = \sum_j^n \emptyset_j= \sum_k^n \emptyset_k = 4\piG\sum m_i \)

Teniendo en cuenta el teorema de Gauss, que dice que todas las superficies que envuelven las mismas masas activas están atravesadas por el mismo flujo, vamos a calcular cuanto vale la intensidad el campo gravitatorio, creado por una distribución esférica de masas.
En un punto exterior se tendrá:

    \(\displaystyle\emptyset = -\oint \oint\vec{\gamma}\overrightarrow{dS}= -\vec{\gamma} \oint \oint\overrightarrow{dS} = -\vec{\gamma}4·\pi·r^2
    \)

Representando el símbolo \(\oint\oint\) la integral de superficie extendido a todo el cuerpo.
Como, por otro lado sabemos que el flujo valía:

    \(\displaystyle\emptyset = 4·\pi·G·M \quad ; \quad \textrm{donde} M = \sum_i m_i \)

Podemos hacer:

    \(\displaystyle\emptyset =- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 =4·\pi·S·M \Rightarrow \vec{\gamma} = -G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \)

Con lo que podemos decir que el campo creado para puntos exteriores a una distribución de masas uniforme sobre una superficie esférica, es igual al campo gravitacional de una partícula de la misma masa situada en el centro de la esfera.
Como sabemos que \(\vec{\gamma}\) es el gradiente cambiado de signo del potencial gravitatorio, podemos hacer:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= - \overrightarrow{grad}V \Rightarrow -G\frac{M}{r^2}\hat{r}\Rightarrow V = -G\frac{M}{r} \)

Con lo que también podemos decir que el potencial para puntos exteriores a una distribución de masas uniforme, sobre una superficie esférica es igual al de una masa puntual M situada en el centro de la esfera.
En el interior de la esfera hueca, se tendrá M=0, luego:

    \(\emptyset = 4·\pi·G·M = - \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 = 0 \)

De ahí tenemos:

    \(- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 = 0 \Rightarrow \vec{\gamma} = 0 \)

En el caso de que la distribución sea uniforme por todo el volumen, si el punto es exterior a la distribución de la masa, se llega a un resultado análogo al anterior:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G\frac{M}{r^2}\hat{r} \quad ; \quad V = - G\frac{M}{r} \)

Donde M es la masa total.


En el caso de que la distribución sea uniforme en todo el volumen y el punto este situado en el interior se tiene:

Según el teorema de Gauss el campo creado por un punto interior a la esfera será debido a dos porciones: la primera de ellas una esfera cuyo radio sea la distancia desde el punto al centro de la esfera, y la segunda una corona esférica, que contenga el resto de la masa uniformemente distribuida. Para calcular el valor total del campo, determinamos por separado el valor de la porción interior y exterior, abstrayéndonos en cada caso de la otra.
Si consideramos la porción interior, tenemos: (llamando M' a la masa de dicha parte)

    \(\displaystyle\vec{\gamma} = - G·\frac{M'}{r_p^2} \)

Pero teniendo en cuenta que el volumen de la esfera vale:

    \(\displaystyle \mathfrak{V}= \frac{4}{3}·\pi·r_p^3 \)

su masa valdrá:

    \(\displaystyle M' = \rho \frac{4}{3}\pir^3 \)

Con lo que podemos hacer:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{\rho(4/3)\pi·r^3}{r^2} = - \left(G·\rho·\frac{4}{3}·\pi\right)r \)

Como sabemos que el campo es el gradiente cambiado de se signo del potencial gravitatorio, el valor de este corresponderá a una integral de una función del tipo:

    \(\displaystyle f(x) = K·x \textrm{, es decir } \int f(x) = \frac{1}{2}·K·x^2 \)

Y con la notación que estamos empleando:

    \(\displaystyle V = - \frac{1}{2}\left(G·\rho·\frac{4}{3}·\pi\right)r^2 \)

Considerando la porción exterior, debemos tratar la parte interior como si fuera hueca, y como el punto considerado es interior, el campo será nulo y también el potencial.
Por lo tanto, el campo y potencial totales en un cuerpo, cuya masa este distribuida uniformemente por todo el volumen debidos a un punto interior a dicho esfera, se den tan solo a los valores debidos a la porción interior a dicho punto.


VARIACION DEL CAMPO GRAVITATORIO RESPECTO A R

variación del campo r

Variación de \(\vec{\gamma}\) para una esfera homogénea, sólida, en función de la distancia al centro.


En el punto n, por ser r = 0, se tendrá

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - \left(G·\rho· \frac{4}{3}· \pi\right)r\)
Se observa que para valores de r<a el valor del campo decrece a medida que reaparece hasta llegar al punto r = a, en que existe un mínimo absoluto. A partir de dicho punto, la función toma valores según la ecuación:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{M}{r^2} \)

y el valor del campo crece a medida que r crece, hasta hacerse nulo cuando r vale infinito.

VARIACION DEL POTENCIAL GRAVITATORIO EN FUNCION DE R.-

Variacion de V para una esfera homogenea solida, en funcion de la distancia al centro.

variación del potencial gravitatorio

En el punto r = 0, se tendra

    \(\displaystyle V = - \frac{1}{2}\left(G·\rho·\frac{4}{3}·\pi\right)r^2= 0 \)
. Para valores de r < a el valor del potencial gravitatorio decrece en función de –r2 hasta llegar al punto r =a
donde la función toma, como en el caso del campo un valor mínimo, a partir del cual aumenta hasta hacerse nulo en el infinito.


PRINPIO DE EQUIVALENCIA

El campo gravitatorio posee una propiedad especial que es la de que todos los cuerpos igualmente acelerados por efecto de la fuerza gravitatoria, con independencia de la masa. Si dos cuerpos tienen inicialmente la misma velocidad, sus movimientos en el campo gravitatorio son iguales.
Esta propiedad del campo gravitatorio fue comprobada por Galileo y posteriormente por Torricelli, y es una consecuencia de la ley fundamental de proporcionalidad de la masa inerte y gravitacional
La fuerza que actúa sobre una partícula en el vacío es:

    \(\displaystyle \begin{matrix}m_p·\vec{\gamma}= m_i·\vec{a}_g \\ m'_p·\vec{\gamma}= m'_i·\vec{a}'_g \end{matrix} \)

según la ley de Newton.
Podemos entonces hacer:

    \(\displaystyle\left . \begin{matrix}\frac{m_p}{m_i}·\vec{\gamma}= \vec{a}_g \\\\ \frac{m'_p}{m'_i}·\vec{\gamma}= \vec{a}'_g \end{matrix}\right\} \Rightarrow \frac{m'_p}{m'_i}= \frac{m_p}{m_i}= Cte \Rightarrow \vec{a}'_g = \vec{a}_g \)

En una región del espacio donde no exista ningún campo gravitatorio desde un referencial de inercia, el movimiento de todos los cuerpos será libre, con velocidad constante. Si inicialmente todos los cuerpos tienen la misma velocidad, el movimiento sera idéntico en todos ellos.

Si observamos el movimiento desde un referencial o inercial, veremos que el movimiento de todos los cuerpos es uniformemente acelerado, es decir todos los cuerpos parecen tener para el observador una aceleración común a o.
Según eso, un campo gravitacional uniforme es totalmente equivalente a un sistema de referencia uniformemente acelerado.
Ninguna experiencia mecánica permite distinguir a o de g, es decir el movimiento en un campo gravitatorio visto desde un R.I. es indistinguible de un sistema de referencia uniformemente acelerado
Los campos gravitacionales “reales” y los acelerados se distinguen por su comportamiento en el infinito. Los primeros decrecen con la distancia mientras que el campo gravitacional observado de un referencial acelerado permanece constante o crece con la distancia
Los campos gravitacionales “acelerados” se pueden anular y crear localmente.

TEOREMA DE EQUIVALENCIA

Se puede afirmar que un campo gravitatorio y un referencial no inercial son indistinguibles por experiencias mecánicas.
Einstein supone que dicho anunciado es en realidad un principio que se anuncia diciendo que un referencial no inercial y un campo gravitatorio son totalmente equivalentes e indistinguibles

Monografía en 9 capítulos. Capítulo dos : Masa inerte y masa gravitatoria
 



tema escrito por: José Antonio Hervás