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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
GRAVEDAD

IDISTRIBUCIÓN VOLÚMICA

 
En el caso de que la distribución sea uniforme por todo el volumen, si el punto es exterior a la distribución de la masa, se llega a un resultado análogo al anterior:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \quad ; \quad V = - G·\frac{M}{r} \)

Donde M es la masa total.

En el caso de que la distribución sea uniforme en todo el volumen y el punto este situado en el interior se tiene:

Según el teorema de Gauss el campo creado por un punto interior a la esfera será debido a dos porciones: la primera de ellas una esfera cuyo radio sea la distancia desde el punto al centro de la esfera, y la segunda una corona esférica, que contenga el resto de la masa uniformemente distribuida. Para calcular el valor total del campo, determinamos por separado el valor de la porción interior y exterior, abstrayéndonos en cada caso de la otra.
Si consideramos la porción interior, tenemos: (llamando M' a la masa de dicha parte)

    \(\displaystyle\vec{\gamma} = - G·\frac{M'}{r_p^2} \)

Pero teniendo en cuenta que el volumen de la esfera vale:

    \(\displaystyle \mathfrak{V}= \frac{4}{3}·\pi·r_p^3 \)

su masa valdrá:

    \(\displaystyle M' = \rho· \frac{4}{3}·\pi·r^3 \)

Con lo que podemos hacer:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{\rho(4/3)\pi·r^3}{r^2} = - \left(G·\rho·\frac{4}{3}·\pi\right)r \)

Como sabemos que el campo es el gradiente cambiado de se signo del potencial gravitatorio, el valor de este corresponderá a una integral de una función del tipo:

    \(\displaystyle f(x) = K·x \textrm{, es decir } \int f(x) = \frac{1}{2}·K·x^2 \)

Y con la notación que estamos empleando:

    \(\displaystyle V = - \frac{1}{2}\left(G·\rho·\frac{4}{3}·\pi\right)r^2 \)

Considerando la porción exterior, debemos tratar la parte interior como si fuera hueca, y como el punto considerado es interior, el campo será nulo y también el potencial.
Por lo tanto, el campo y potencial totales en un cuerpo, cuya masa este distribuida uniformemente por todo el volumen debidos a un punto interior a dicho esfera, se den tan solo a los valores debidos a la porción interior a dicho punto.

Monografía en 10 capítulos. Capítulo nueve : Variación de la gravedad respecto a R
 



tema escrito por: José Antonio Hervás