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\(d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S}\)
Con la notación que nosotros empleamos será:
\(\displaystyle dV = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·\hat{r}\times \overrightarrow{dS}
= -G·\frac{m_i}{r_i^2}·dS_n \)
Donde dSn es el elemento que corresponde a la
sección recta del área.
Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido,
podemos poner:
\(\displaystyle dw = \frac{dS_n}{R^2}\Rightarrow dV = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·dS_n
=\)
\(\displaystyle = G·m_i\left(-\frac{dS_n}{r_i^2} \right)=
G·m_idw \)
El ángulo sólido se define como la porción
del espacio comprendido dentro de una superficie cónica
o piramidal.
Su medida se efectúa obteniendo el cociente de la superficie
esférica interceptada por el cuadrado del radio de
dicho esfera.
El flujo será positivo o negativo según que
el ángulo sólido sea positivo o negativo, también
podrá saberse que es positivo si desde una masa puntual
se ve la cara interna de la superficie interceptada, y negativo
si se ve la cara externa.
Cuando el ángulo sólido es pequeño,
el area G se representa dS y no ha de ser necesariamente un
casquete esférico, sino que puede ser una pequeña
superficie plana perpendicular a la acción del campo.
En el caso de que tenga una masa continua, el flujo sobre
ella será:
Si el punto es interior, el ángulo sólido valdrá:
\(\displaystyle w = \frac{S}{R^2}= \frac{4\pi·R^2}{R^2}=
4·\pi \)
Con lo que podemos poner:
\(\emptyset_i = G·m_i·4·\pi \)
Para determinar el flujo resultante caso de que el punto
sea exterior a la masa, debemos tener en cuenta que el flujo
pasa por dos superficies; en la primera de ellas será
entrante y en la segunda saliente. Dividiendo el cuerpo en
pequeñas porciones y tomando parejas que estén
situadas antagónicamente, se ve que el flujo total
ha de ser nulo.
Es decir, el flujo debido a los puntos exteriores de un cuerpo,
es nulo.
Si aceptamos el principio de superposición, tenemos:
\(\displaystyle \vec{\gamma}= \sum_i^n \vec{\gamma}_i \)
Y según hemos definido el flujo, tenemos:
\(\displaystyle d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S}
= \sum_i^n \vec{\gamma}_i·d\vec{S} =\sum_i^n d\emptyset_i
\)
Es decir, si los campos se suman vectorialmente, los flujos
se suman escalarmente.
\(\emptyset_i\) será el flujo creado por una de las
masas puntuales.
El flujo total será el debido a los puntos interiores
y exteriores, colocando el subíndice k en los puntos
interiores y el j en los exteriores, tenemos:
\(\displaystyle \emptyset = \sum_i^n \emptyset_i= \sum_k^n
\emptyset_k = \sum_j^n \emptyset_j= \sum_k^n \emptyset_k =
4·\pi·G·\sum m_i \)
Teniendo en cuenta el teorema de Gauss, que dice que todas
las superficies que envuelven las mismas masas activas están
atravesadas por el mismo flujo, vamos a calcular cuanto vale
la intensidad el campo gravitatorio, creado por una distribución
esférica de masas.
En un punto exterior se tendrá:
\(\displaystyle\emptyset = -\oint \oint\vec{\gamma}\overrightarrow{dS}=
-\vec{\gamma} \oint \oint\overrightarrow{dS} = -\vec{\gamma}4·\pi·r^2
\)
Representando el símbolo \(\oint\oint\) la integral
de superficie extendido a todo el cuerpo.
Como, por otro lado sabemos que el flujo valía:
\(\displaystyle\emptyset = 4·\pi·G·M
\quad ; \quad \textrm{donde} M = \sum_i m_i \)
Podemos hacer:
\(\displaystyle\emptyset =- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2
=4·\pi·S·M \Rightarrow \vec{\gamma} =
-G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \)
Con lo que podemos decir que el campo creado para puntos
exteriores a una distribución de masas uniforme sobre
una superficie esférica, es igual al campo gravitacional
de una partícula de la misma masa situada en el centro
de la esfera.
Como sabemos que \(\vec{\gamma}\) es el gradiente cambiado
de signo del potencial gravitatorio, podemos hacer:
\(\displaystyle \vec{\gamma}= - \overrightarrow{grad}V \Rightarrow
-G·\frac{M}{r^2}·\hat{r}\Rightarrow V = -G·\frac{M}{r} \)
Con lo que también podemos decir que el potencial
para puntos exteriores a una distribución de masas
uniforme, sobre una superficie esférica es igual al
de una masa puntual M situada en el centro de la esfera.
En el interior de la esfera hueca, se tendrá M=0, luego:
\(\emptyset = 4·\pi·G·M = - \vec{\gamma}·4·\pi·r^2
= 0 \)
De ahí tenemos:
\(- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 = 0 \Rightarrow
\vec{\gamma} = 0 \)
En el caso de que la distribución sea uniforme por
todo el volumen, si el punto es exterior a la distribución
de la masa, se llega a un resultado análogo al anterior:
\(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \quad
; \quad V = - G·\frac{M}{r} \)
Donde M es la masa total.
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