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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
GRAVEDAD

FLUJO DEL CAMPO

 
Para ello vamos a hacer la suposición de que la distribución de masas crea un campo exterior igual al que crearía una masa puntual colocada en el centro y con toda la masa del cuerpo concentrada en el.

    \(d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S}\)
masa que origina el campo

Con la notación que nosotros empleamos será:

    \(\displaystyle dV = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·\hat{r}\times \overrightarrow{dS} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·dS_n \)

Donde dSn es el elemento que corresponde a la sección recta del área.

Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido, podemos poner:

    \(\displaystyle dw = \frac{dS_n}{R^2}\Rightarrow dV = -G·\frac{m_i}{r_i^2}·dS_n =\)
    \(\displaystyle = G·m_i\left(-\frac{dS_n}{r_i^2} \right)= G·m_idw \)

El ángulo sólido se define como la porción del espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal.
Su medida se efectúa obteniendo el cociente de la superficie esférica interceptada por el cuadrado del radio de dicho esfera.
El flujo será positivo o negativo según que el ángulo sólido sea positivo o negativo, también podrá saberse que es positivo si desde una masa puntual se ve la cara interna de la superficie interceptada, y negativo si se ve la cara externa.

Cuando el ángulo sólido es pequeño, el area G se representa dS y no ha de ser necesariamente un casquete esférico, sino que puede ser una pequeña superficie plana perpendicular a la acción del campo.

flujo de campo

En el caso de que tenga una masa continua, el flujo sobre ella será:

    \(G·m_i\int dw \)
Si el punto es interior, el ángulo sólido valdrá:

    \(\displaystyle w = \frac{S}{R^2}= \frac{4\pi·R^2}{R^2}= 4·\pi \)

Con lo que podemos poner:

    \(\emptyset_i = G·m_i·4·\pi \)

Para determinar el flujo resultante caso de que el punto sea exterior a la masa, debemos tener en cuenta que el flujo pasa por dos superficies; en la primera de ellas será entrante y en la segunda saliente. Dividiendo el cuerpo en pequeñas porciones y tomando parejas que estén situadas antagónicamente, se ve que el flujo total ha de ser nulo.
Es decir, el flujo debido a los puntos exteriores de un cuerpo, es nulo.
Si aceptamos el principio de superposición, tenemos:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= \sum_i^n \vec{\gamma}_i \)

Y según hemos definido el flujo, tenemos:

    \(\displaystyle d\emptyset = \vec{\gamma}·d\vec{S} = \sum_i^n \vec{\gamma}_i·d\vec{S} =\sum_i^n d\emptyset_i \)

Es decir, si los campos se suman vectorialmente, los flujos se suman escalarmente.
\(\emptyset_i\) será el flujo creado por una de las masas puntuales.
El flujo total será el debido a los puntos interiores y exteriores, colocando el subíndice k en los puntos interiores y el j en los exteriores, tenemos:

    \(\displaystyle \emptyset = \sum_i^n \emptyset_i= \sum_k^n \emptyset_k = \sum_j^n \emptyset_j= \sum_k^n \emptyset_k = 4·\pi·G·\sum m_i \)

Teniendo en cuenta el teorema de Gauss, que dice que todas las superficies que envuelven las mismas masas activas están atravesadas por el mismo flujo, vamos a calcular cuanto vale la intensidad el campo gravitatorio, creado por una distribución esférica de masas.
En un punto exterior se tendrá:

    \(\displaystyle\emptyset = -\oint \oint\vec{\gamma}\overrightarrow{dS}= -\vec{\gamma} \oint \oint\overrightarrow{dS} = -\vec{\gamma}4·\pi·r^2
    \)

Representando el símbolo \(\oint\oint\) la integral de superficie extendido a todo el cuerpo.
Como, por otro lado sabemos que el flujo valía:

    \(\displaystyle\emptyset = 4·\pi·G·M \quad ; \quad \textrm{donde} M = \sum_i m_i \)

Podemos hacer:

    \(\displaystyle\emptyset =- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 =4·\pi·S·M \Rightarrow \vec{\gamma} = -G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \)

Con lo que podemos decir que el campo creado para puntos exteriores a una distribución de masas uniforme sobre una superficie esférica, es igual al campo gravitacional de una partícula de la misma masa situada en el centro de la esfera.
Como sabemos que \(\vec{\gamma}\) es el gradiente cambiado de signo del potencial gravitatorio, podemos hacer:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= - \overrightarrow{grad}V \Rightarrow -G·\frac{M}{r^2}·\hat{r}\Rightarrow V = -G·\frac{M}{r} \)

Con lo que también podemos decir que el potencial para puntos exteriores a una distribución de masas uniforme, sobre una superficie esférica es igual al de una masa puntual M situada en el centro de la esfera.
En el interior de la esfera hueca, se tendrá M=0, luego:

    \(\emptyset = 4·\pi·G·M = - \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 = 0 \)

De ahí tenemos:

    \(- \vec{\gamma}·4·\pi·r^2 = 0 \Rightarrow \vec{\gamma} = 0 \)

En el caso de que la distribución sea uniforme por todo el volumen, si el punto es exterior a la distribución de la masa, se llega a un resultado análogo al anterior:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = - G·\frac{M}{r^2}·\hat{r} \quad ; \quad V = - G·\frac{M}{r} \)

Donde M es la masa total.

Monografía en 10 capítulos. Capítulo ocho : Distribución volumica
 



tema escrito por: José Antonio Hervás