Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS TÉCNICAS
GRAVEDAD

POTENCIAL GRAVITATORIO

 
Otro concepto importante que hemos de considerar es el de potencial gravitatorio.El campo gravitatorio es un campo potencial.
Hemos visto que la intensidad del campo sobre un cuerpo de dimensiones reducidas,con respecto a la distancia, viene dado por la expresión:

    \(\displaystyle\vec{\gamma} = G·\frac{m_i}{r_i^2}·\hat{r}\)

Vamos a calcular la circulación del campo en un desplazamiento cualquiera \(\overrightarrow{dl}\).

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}d\vec{l}·\hat{r} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}dr
    \)

Donde dr es la variación de distancia desde el centro del cuerpo hasta el origen.Continuando tenemos:

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\frac{m_i}{r_i^2}dr= -Gm_i\frac{dr}{r^2} = -Gm_id\left(- \frac{1}{r}\right) \)

Pues según sabemos por analisis, tenemos

    \(\displaystyle du = u'·dx \rightarrow d\left(-\frac{1}{r}\right) = \frac{dr}{r^2}\)

Como G y mi permanecen constantes, podemos hacer:

    \(\displaystyle\vec{\gamma}·d\vec{l} = -d\left(-G· \frac{m_i}{r_i}\right)\Rightarrow V_i = - G\frac{m_i}{r_i} + C \)

Donde V recibe el nombre de potencial gravitatorio y viene definido como energia potencial por unidad de masa colocada en el campo gravitacional, o bien el trabajo necesario para trasladar un cuerpo desde el punto donde queremos hallar su potencial hasta el infinito, e igualmente el trabajo necesario para tener un cuerpo desde el infinito hasta un punto P en contra de la accion del campo.
El campo total creado por varias particulas, según el principio de superposición sera:

    \(\displaystyle \vec{\gamma} = \sum_i^n \vec{\gamma}_i\)

Y por lo tanto, el potencial gravitatorio valdra:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}·d\vec{l} = \sum_i^n\vec{\gamma}_id\vec{l} = - G·\frac{m_i}{r^2}·r_id\vec{l} =
    \)
    \(\displaystyle = -d\left(\sum _i^n - G\frac{m_i}{r}\right) = d \sum_i^n V_i = - dV \)

Y finalmente integrado queda:

    \(\displaystyle V = \sum_i^n V_i = - G \sum_i^n \frac{m_i}{r_i} + C\)

Normalmente se tiene C = 0 ; esto quiere decir que los puntos se consideran muy alejados del campo.
Si el campo esta creado por una distribución continua de masas, se tiene:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}= - G\int \frac{dm}{r^2}\hat{r}\)

Y entonces se tiene:

    \(\displaystyle \vec{\gamma}·d\vec{l} = -G·\hat{r}·d\vec{l}\int \frac{dm}{r^2}= -G·dr \int\frac{dm}{r^2} =
    \)
    \(\displaystyle = -d\left(-G\int\frac{dm}{r}\right) = - dV
    \)

Integrado tenemos:

    \(\displaystyle V = -G\int\frac{dm}{r}\)

Un campo gravitatorio puede representarse por líneas de campo o superficies equipotenciales.
Las líneas de campo gravitacional son líneas que en todo punto son tangentes al campo, tienen dirección radial y nacen en las masas; no existen sumideros, las líneas se dirigen al infinito.
Si el cuerpo que crea el campo es puntual, las superficies equipotenciales son esféricas. Las superficies equipotenciales son aquellos en las que existe un mismo valor de potencial gravitatorio.
Sabemos, por demostraciones anteriores que la derivada de una función \(\emptyset\) definida en el espacio vale:

    \(d\emptyset = \overrightarrow{grad}\emptyset · \overrightarrow{dl}
    \)

Siendo dl un desplazamiento infinitesimal.

Dirección del gradiente

Si consideramos que V es una función definida en el espacio y cuyo valor viene dado por la expresión.

    \(dV = \left(- \vec{\gamma}\right) d\vec{l}\)

Podemos poner entonces:

    \(dV = \left(- \vec{\gamma}\right) d\vec{l} =\overrightarrow{grad} V· d\vec{l}\Rightarrow \vec{\gamma} = - \overrightarrow{grad} V \)

Por consiguiente el campo gravitacional el el gradiente cambiado de signo del potencial gravitacional.
La dirección del gradiente es por tanto perpendicular a las superficies equipotenciales, y el sentido hacia valores crecientes ya que V crece cuando r decrece.
El modulo del gradiente será:

    \(\displaystyle \frac{dV}{dr} = G\frac{m}{r^2}\)

Por lo tanto la intensidad del campo tendrá sentido hacia el centro, y como el gradiente crece cuando r decrece, como es \(\vec{\gamma} = - \overrightarrow{grad} V\), se tendrá que \(\vec{\gamma}\) decrece cuando r decrece.
Hemos visto entonces que se tiene: \(\vec{\gamma} d\vec{l}= - dV\)
Por otro lado, el trabajo es la circulación de la fuerza, es decir:

    \(\displaystyle \mathfrak{L} = \oint_A^B \vec{F}·d\vec{l}\)

Pero \(\vec{F}d\vec{l}\) vale:

    \(\vec{F}·d\vec{l} = m'·\vec{\gamma}·d\vec{l} =,- d(m'·V) = - dU\)

Llamando U al producto m'.V que es igual a :

    \(\displaystyle m'·V = -G\sum_i^n \frac{m·m'}{r_i}\textrm{, o bien } m'V = - G \int m' \frac{dm}{r_i}\)

Podemos decir que el trabajo desarrollado en un pequeño desplazamiento es igual a menos la diferencial de la energía potencial:

    \(\mathfrak{L} = \oint_A^B \vec{F}·d\vec{l}= - \int_A^B dU = U_A - U_B = - \triangle U \)

Como solo actúan fuerzas de interacción el campo es conservativo, y por tanto:

    \(\mathfrak{L} = \triangle E_c = - \triangle U \Rightarrow \triangle (E_c + U) = 0 \Rightarrow E_c + U = cte \)
Monografía en 10 capítulos. Capítulo seis : Velocidad de fuga
 



tema escrito por: José Antonio Hervás