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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
GRAVEDAD

LEYES DE KEPLER

 
Vamos a ver si podemos aplicar esta ley a cuerpos en movimiento, como es el caso de los planetas. Para ello consideramos las leyes de Kepler:

    1ª.- Los planetas describen orbitas elípticas, estando el sol en uno de los focos.

    2ª.- Como las trayectorias son planas, las velocidad aerolar el constante y las fuerzas son centrales.

    3ª.- Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al sol.

Esta última ley puede expresarse por la siguiente ecuación:

    \(T^2 = cr^3 \)

Donde T es el periodo de revolución, c una constante de proporcionalidad y r la distancia promedio planeta-sol.
Al ser las trayectorias planas, las fuerzas son centrales; por otro lado, si las trayectorias son elípticas y la velocidad es constante, se tiene:

    \(a_T = 0\)

Por lo que la fuerza será únicamente debida a la aceleración normal, es decir:

    \(\displaystyle F = ma = \frac{mv^2}{r}\)

Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en mg y considerando solamente la fuerza que actúa sobre, siendo F una fuerza de atracción, como se ha dicho, tiene dirección opuesta al vector\(\vec{r}=\overrightarrow{OA}= r\hat{r}\) , donde \(\hat{r}\) es el vector unitario en la dirección de OA ; por consiguiente, podemos escribir :

    \(\displaystyle \vec{F} = - m_i·\frac{v^2}{r}·\hat{r}\)

Y teniendo en cuenta que v/r =w, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = - m_i·w^2·r·\hat{r} = - m_i·\frac{4·\pi^2}{r^2}·r·\hat{r}\)

Según la definición de velocidad angular, es decir: w = ángulo barrido/tiempo.
Introduciendo ahora la tercera ley de Kepler, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = - \frac{4·\pi^2}{c}·\frac{m_i·r}{r^3}·\hat{r}= - K'\frac{m_i}{r^2}·\hat{r} \quad \textrm{donde } K' = 4\pi^2/c \)

Si es mi la que esta fija, tenemos:

    \(\displaystyle \vec{F} = - K·\frac{m_G}{r^2}·\hat{r}\)

Según Newton la ley de gravitación se escribe:

    \(\displaystyle \vec{F} = - G·\frac{m_i·m_G}{r^2}·\hat{r}\)

Por lo tanto, se tiene:

    \(K = + G·m_i\)

Por lo tanto, la masa gravitacional y la masa inerte no son en principio magnitudes iguales, y se tiene la relación mG = c.mi
Se define la masa gravitatoria como una propiedad que tienen los cuerpos que interaccionan y la masa inerte es una propiedad de los cuerpos, asociada al movimiento, y se cumple la siguiente ley:
La masa gravitacional es directamente proporcional a la masa inerte: mG = c.mi
Por lo tanto, teniendo en cuenta la expresión de la ley de gravitación universal, podemos poner:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m_{G1}·m_{G2}}{r^2}·\hat{r} = - G·c^2·\frac{m_{i1}·m_{i2}}{r^2}·\hat{r} = \)
    \(\displaystyle =- K·\frac{m_{i1}·m_{i2}}{r^2}·\hat{r} \)

Para que G será la unidad, se debería definir la masa gravitacional como aquella con la que dos cuerpos de igual masa se atraen a la distancia de un metro con una fuerza de un newton. Pero en esas condiciones la unidad de masa gravitación seria enorme.
Por otro lado, para que K valga 1, entonces tendríamos que hacer c = 1 , y la masa gravitacional coincidiría con la masa inerte.
Es mucho mas practico definir la masa de forma que se tenga \(\vec{F}= m_i\vec{a}\), es decir:\(m_i = m_G \Rightarrow c = 1\)

Para que esto sea así, la constante gravitacional debe tomar un valor determinado: \(G = 6,6710^{-11}Nm^2Kgr^{-2}\)

Observamos entonces que G tiene un valor muy pequeño, y en las interacciones entre moléculas la interacción gravitatoria es prácticamente nula, por eso, para este tipo de interacciones se desprecia G.
Por lo tanto, según las consideraciones anteriores, la fuerza con que se atraen o interaccionan dos cuerpos es:

    \(\displaystyle \vec{F} = -G·\frac{m_2·m_2}{r^2}·\hat{r} \)
Monografía en 10 capítulos. Capítulo cuatro : Campo gravitatorio
 



tema escrito por: José Antonio Hervás