INTEGRACIÓN DE UNCIONES RACIONALES
MÉTODO DE HERMITE

INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

Introducción

Método de Hermite.

En el caso de que el denominador tenga ceros múltiples es posible y conveniente descomponer el integrando en la siguiente forma:



Siendo en dicha expresión: Q₁(x) el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x); Q₂(x) el cociente (exacto) entre Q(x) y Q₁(x) y los polinomios P₁(x) y P₂(x), de grados inferiores a Q₁(x) y Q₂(x), respectivamente, cuyos coeficientes se determinan por el método de los coeficientes indeterminados.
La integral de la fracción propuesta viene entonces dada en la forma:



Que se compone de una parte racional ya integrada y otra trascendente, por tener Q₂(x) todos sus ceros simples, ya que cada raíz h-ple de Q(x) es raíz (h-1)-ple de Q₁(x).
La determinación de Q₁(x), Q₂(x), P₁(x) y P₂(x) es racional no exigiéndose la determinación de los ceros y esta sólo se necesita para el polinomio de menor grado, Q2(x), al calcular la parte trascendente de la integral.
Demostración.
Sea el polinomio del denominador Q(x) con h raíces distintas:



Cada una de las cuales tenga multiplicidad a₁,…, a_h, respectivamente. El grado de dicho polinomio será, por ejemplo, n.
El polinomio Q₁(x), máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) vendrá dado en la forma:



Y su grado será n-h.
Por último, el polinomio Q₂(x), cociente exacto entre Q(x) y Q₁(x) será de la forma:



Y su grado será h (menor o igual que n).
Vamos a ver ahora cómo se determinan los polinomios P₁(x) y P₂(x), de grados inferiores a Q₁(x) y Q₂(x), respectivamente, que satisfagan la relación (1 – MH) que se puede poner en la forma:



O lo que es igual:



Si, por ejemplo, P₁(x) es un polinomio indeterminado de grado (n-h)-1 y P₂(x) otro polinomio de grado (h-1), el número total de coeficientes indeterminados, contando los términos independientes de los dos polinomios, es n; y como el primer miembro, P(x), es a lo sumo, de grado (n-1), se tiene un número suficiente de ecuaciones lineales para determinarlos. Estas ecuaciones lineales forman un sistema determinado, porque si fuera nulo su determinante, el sistema homogéneo que resultaría tomando términos independientes nulos, admitiría solución no formada por ceros, es decir, habría dos polinomios no idénticamente nulos, P₁(x) y P₂(x) que satisfarían (1 – MH) y (2 – MH) para el polinomio idénticamente nulo P(x) y resultaría de (2 – MH) (cuyo primer miembro sería nulo) la igualdad de una función racional, P₁(x)/Q₁(x), con una trascendente.
Ejemplo 4.- Determinar por el método de Hermite la integral



Formamos los distintos polinomios necesarios:



Y la ecuación de Hermite es:



Que da, igualando coeficientes, el siguiente sistema de ecuaciones:

En x⁴ , c = 0
En x³ , d – a – 2c = 0
En x² , c + e – a – 2b – 2d = 0
En x¹ , d – a – 2e = 0
En x⁰ , e – a – 2b = 1

Que tiene por solución:

a = ½ ; b = -3/4 ; c = 0 ; d = ½ ; e = 0

Y la expresión a integrar resulta:



Calculamos la última integral por descomposición en fracciones simples:



Igualando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones lineales:

En x² , A + B = 0 ; en x¹ , C – B = ½ ; en x⁰ , A – C = 0

Que tiene como solución:

A = ¼ ; B = - ¼ ; C = ¼

De ese modo la integral queda en la forma:



Y su solución es:



Con lo que la integral general queda en la forma:



FIN