INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

Introducción

Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a , b] se puede expresar en la forma:



Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el intervalo [a , b].
En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de grado inferior que el denominador, es decir:



Suponiendo que ya tenemos S(x) en esta última forma y que el polinomio Q(x) admite una descomposición del tipo:



Donde a₁, a₂, … son raíces reales de multiplicidad a,b,..., … respectivamente y b₁ ± c₁.i , b₂ ± c₂.i … son raíces imaginarias conjugadas de multiplicidad h, k, … respectivamente, entonces existe la descomposición en fracciones simples del tipo:



Se demuestra que esta descomposición existe y que es única.
La obtención de los coeficientes indeterminados puede hacerse de distintas formas. Así, por ejemplo, escrita a priori, la fórmula de descomposición, con coeficientes indeterminados en los numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros por Q(x). basta entonces igualar coeficientes de las mismas potencias de x en la igualdad que resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única de las incógnitas buscadas, A_j, B_j, C_j.
En algunos casos puede aplicarse un método sencillo que consiste en ir dando a x cada uno de los valores que son raíces del denominador. Vamos a desglosar el problema de la determinación de los coeficientes indeterminados en tres casos.

Caso de ceros simples reales.

No se precisa aplicar el método de los coeficientes indeterminados, pues si la descomposición en fracciones simples se queda en la forma



Los coeficientes vienen dados por la expresión:



Y la función integral será de la forma:



Ejemplo 1.- Vamos a obtener la función primitiva de:



Esta función descompuesta en fracciones simples quedará en la forma:



Y los coeficientes A₁, A₂, A₃ se pueden obtener por el método de las derivadas. Se tiene, siendo la derivada del denominador 3•x² + 4•x-1:



Por lo tanto, la primitiva buscada será:



Caso de ceros simples imaginarios.

Consideremos el caso más sencillo, en el que el denominador Q(x) es de grado dos. Si sus raíces son a + b•i y a – b•i, se tiene:



Y la fracción queda en la forma:



Así transformada, la función se integra como sigue:



Ejemplo 2.- Calcular la integral de la función:



La descomposición en fracciones simples de esta función nos da:



Y los coeficientes son: A = 1; B = -1; C = 0. De ese modo, la función integrada queda en la forma:



Caso de ceros múltiples.

Si en el denominador hay un factor (x-a)^h, esta raíz h-ple origina h fracciones simples:



Mutiplicando por (x-a)^h y poniendo F(x) = P(x)/q(x), tenemos:



Los coeficientes se determinan entonces haciendo:



También se puede emplear el método de los coeficientes indeterminados, sobre todo cuando hay raíces imaginarias.
Ejemplo 3.- Considerar la integral de la función:



Quitando denominadores resulta:



Identificando coeficientes y resolviendo se tiene: A = 1 ; B = 2 ; C = 1 y la función queda en la forma:



E integrando:



Una vez estudiados los distintos métodos existentes para obtener los coeficientes, vamos a analizar los tipos de funciones a integrar que aparecen. Los distintos tipos de funciones simples que tenemos son:



El primer caso corresponde a una raíz real simple del denominador. Su integral se obtiene inmediatamente y es de la forma A.Ln(x-a).
El segundo caso corresponde a una raíz real de multiplicidad, por lo menos, p del denominador. Su integral se obtiene haciendo:



El tercer caso corresponde a un par de raíces conjugadas en el denominador y su integración se realiza como se ha visto en el apartado “Caso de ceros simples imaginarios” :



El último caso corresponde a un par de raíces conjugadas, de multiplicidad por lo menos p, en el denominador. La integral de una expresión de ese tipo debe resolverse por un método de reducción:



La primera de las integrales se obtiene como sigue:



Para resolver la segunda de las integrales hacemos:



Haciendo ahora el cambio:



Podemos poner:



Llamando I_p a la expresión comprendida bajo el signo integral podemos hacer:



La primera de las integrales queda I_p-1, la segunda pude integrarse por partes haciendo:



Y a partir de ahí:



Con lo que tenemos:



Y sustituyendo en la expresión de I_p



Agrupando términos y deshaciendo el cambio de variable realizado al principio, se tiene:



La expresión general para las integrales racionales con raíces conjugadas de multiplicidad por lo menos p en el denominador queda, por tanto, en la forma:



Donde I_p tiene el valor obtenido anteriormente, que operado sucesivamente queda en la forma:



Método de Hermite