MONOGRAFIA.- GASES PERFECTOS

ECUACIÓN DE ESTADO

PROCESOS ADIABÁTICOS

En un proceso adiabático el calor transferido por el sistema es nulo. Si además de adiabático, el proceso es cuasiestático, se verificará:



Y puesto que la energía interna es función de la temperatura y el volumen resulta:



Vemos entonces que conocida la energía interna y la ecuación de estado, podemos determinar la línea que sigue el sistema en un proceso adiabático.
Si consideramos un gas perfecto, la anterior ecuación se reduce a:



Y teniendo en cuenta la ecuación de estado (6)



Cuando Cv es constante se puede integrar la anterior ecuación diferencial para dar:



Si dividimos todos los términos por Cv y tomamos antilogatirmos:



Podemos recordar en este punto el valor de R y poner:



Donde γ se denomina índice adiabático.
Considerando el último resultado, la ecuación (12) queda finalmente en la forma



Que es la expresión de una línea adiabática en el diagrama TV.
Podemos considerar la expresión de las líneas adiabáticas en función de otras variables. Para ello podemos partir de la ecuación (13) o también de las ecuaciones (7) y (9). En el primer caso tenemos:



Y sustituyendo en (13)



Considerando ahora las ecuaciones (13) y (14) tenemos:



Las ecuaciones (13), (14) y (15) nos dan la expresión de las líneas adiabáticas de un gas perfecto en función de las variables termodinámicas del sistema y se denominan ecuaciones de Poisson. Mediante las anteriores ecuaciones podremos determinar el valor de una de las variables cuando se conoce la situación inicial del gas y el valor final de la otra, si el sistema sigue un proceso adiabático.

A continuación vamos a determinar la relación que existe entre las pendientes de una línea adiabática y una línea isoterma. Para una línea adiabática la pendiente vendrá dada por:



Por dicho punto pasará una isoterma cuya pendiente vendrá dada por:

Puesto que, por la relación de Mayer, Cp – Cv = R, el índice adiabático, γ es siempre mayor que 1, podemos decir que, en valor absoluto, una línea adiabática tiene una pendiente mayor que la isoterma en un punto cualquiera. En la gráfica adjunta se representa esta situación.

La pendiente de la línea adiabática siempre es mayor, en valor absoluto, que la correspondiente a la isoterma, aun en el caso de que Cp y Cv no sean constantes. Recordamos que para un proceso adiabático cuasiestático se verifica:



Por otro lado, también se verifica:



Por lo que podemos poner:



Y reagrupando términos:



De donde resulta:



De las ecuaciones que hemos desarrollado para llegar a la (16), podemos deducir que, en general, para un proceso adiabático, se tiene:



Y recordando cómo hemos definido Cv resulta:



Pero, al ser V constante:



De igual forma, para Cp tenemos:



Y, al ser la presión constante:



Sustituyendo este resultado en (16) nos queda:



Donde hemos puesto:



Ahora bien, k es el coeficiente de comprensibilidad isotermo que vale:



Por lo que, finalmente, tenemos:



Con lo que hemos demostrado que la pendiente de una línea adiabática es siempre mayor que la correspondiente a una isoterma, por ser Cp > Cv.
En un sistema pueden tener lugar transformaciones adiabáticas no cuasiestáticas y, en tal caso, las ecuaciones de Poisson no serán aplicables.
Finalmente, vamos a comprobar que la expresión diferencial δQ admite como factor integrante 1/θ.
Podemos recordar que para δQ se tiene la expresión:



La integración de δQ entre dos estados depende del camino seguido. No obstante, si dividimos δQ por θ obtenemos la expresión:



De modo que la inversa de la temperatura es un factor integrante de δQ y la integral de δQ/θ será independiente del camino.
La función:



Recibe el nombre de entropía.