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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
FUERZAS DE CONTATO

PLANO INCLINADO

 

EL PLANO INCLINADO

Consideremos un cuerpo de peso Q deslizando con movimiento uniforme, o en equilibrio estricto, sobre un plano de inclinación . Se pueden distinguir dos casos:

    1º.- Que el cuerpo asciende
    2º.- Que el cuerpo desciende

En el caso 1º si el cuerpo asciende, la reacción R del plano tiene una componente que se opone al movimiento y forma el ángulo de rozamiento,\(\varphi\) , con la normal Oy al plano (fig. 1)

La fuerza motriz P que actúa sobre el cuerpo, que suponemos forma un ángulo \(\beta\) con la dirección del movimiento, equilibra a las fuerzas Q y R, por ser uniforme el movimiento.

plano inclinado hacia arriba

Por lo tanto, pueden escribirse las ecuaciones de equilibrio siguientes:

    \(P\cos \beta - R\sin \varphi - Q\sin \alpha = 0 \)
    \( P\sin \beta - R\cos \varphi - Q\cos \alpha = 0 \)

de donde se deducen:

    \(R\sin \varphi = P\cos \beta - Q\sin \alpha \)
    \( R\cos \varphi = Q\cos \alpha - P\sin \beta \)
y dividiendo las dos igualdades para eliminar R, se tiene:

    \(\displaystyle \tan \varphi = \frac{P\cos \beta - Q\sin \alpha}{Q\cos \alpha - P\sin \beta} \)

Y despejando de esta P resulta:

    \(\displaystyle P = \frac{\sin(\alpha + \varphi)}{\cos (\beta - \varphi)}Q \)

formula que permite calcular P en función de los otros elementos.

En el caso 2º si el cuerpo desciende, la reacción debe tener una componente según el plano, que se oponga al movimiento (fig. 2).

plano inclinado hacia abajo

Las ecuaciones que definen el equilibrio de las fuerza P,Q y R son:

    \(Q\sin \alpha - P\cos \beta - R\sin \varphi = 0 \)
    \(P\sin \beta + R\cos \varphi - Q\cos \alpha = 0 \)

despejando R como en el caso anterior, tenemos:

    \(\displaystyle \tan \varphi = \frac{Q\sin\alpha - P\cos \beta}{Q\cos\alpha - P\sin \beta} \)

y despejando P, obtenemos:

    \(\displaystyle P = \frac{\sin (\alpha - \varphi)}{\cos(\alpha + \varphi)}Q \)


De esta última fórmula, podemos sacar las siguientes conclusiones:

    a) Si se tiene \(\alpha > \varphi\), entonces será P >0, estando dirigida esta fuerza como indica la figura 2. La componente \(Q_x = Q\sin \alpha\) es mayor, en este caso, que la \(R_t = f·Q\sin \alpha\) luego, la fuerza P debe estar dirigida de modo que su componente según el plano, equilibre a la diferencia \(Q_x - R_x\).

    b) Si se tiene \(\alpha = \varphi\), entonces será P = 0. En este caso \(Q_x = R_x\) y el cuerpo está en equilibrio o en movimiento uniforme, sin la intervención de ninguna otra fuerza. Este puede ser un método experimental para determinar \(\varphi\), con lo que se obtine f que vale: \(f = \tan \varphi\) . Se coloca el cuerpo sobre el plano y se va aumentando la inclinación de este hasta conseguir que se rompa el equilibrio y en este momento, la inclinación \(\alpha = \varphi\) .

    c) Si se tiene\(\alpha < \varphi\) , entonces será P < 0. Como en este caso es \(Q_x < R_x\) la fuerza P deberá tener una componente en el sentido del movimiento, que equilibre a la resultante , de modo que su sentido será opuesto al indicado en la figura 2:

    d) El valor de P será mínimo cuando \(\beta = - \varphi\), es decir, se tendrá \(P = Q\sin(\alpha - \varphi)\).

Atras - Monografía en 3 capítulos. Capítulo tres: Rodadura
 



tema escrito por: José Antonio Hervás