Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS TÉCNICAS
ESTÁTICA

ESTÁTICA- TRABAJO VIRTUAL

 

Supongamos un punto A en equilibrio respecto a un sistema de referencia. Las fuerzas que actúan sobre el en dicho sistema deben tener una resultante nula. Imaginemos que sufre un desplazamiento elemental, llamado movimiento virtual por no haberlo motivado las fuerzas que lo mantienen en equilibrio. Tal desplazamiento lo simbolizaremos así :\(\delta A = \delta s\) , llamándose variación al símbolo \(\delta\). Si F es una de las fuerzas que actúan sobre A, habrá efectuado en dicho desplazamiento el trabajo \(\delta T = F\delta A\), llamado trabajo virtual. Las expresiones \(\delta T\) y \(\delta A\) se leen respectivamente variación de T y variación de A.

Si se tratara de un sistema discreto de punto o de un sólido en equilibrio, sometido a las fuerzas Fk (k = l,…,n) de puntos de aplicaron Ak , en un desplazamiento virtual del mismo, el trabajo virtual resultante de tales fuerzas es \(\delta T = F_k\delta A_k\), empleando la notación abreviada de Einstein. Según el desplazamiento que se considerase podría suceder que el trabajo de alguna de las fuerzas no fuese nulo y el de las restantes si. Eligiendo adecuadamente los desplazamientos elementales del sistema será posible determinar las componentes de reacciones vinculares aplicando el teorema de los trabajos virtuales.

TRABAJO VIRTUAL DE LAS FUERZAS QUE INTERVIENEN EN UN SISTEMA EN EQUILIBRIO

Sea un sistema discreto de n puntos materiales o un medio continuo. Cabe considerar uno cualquiera de sus puntos As aislado del resto, suponiendo que sobre el actúan las acciones precedentes de los restantes del sistema llamadas fuerzas interiores. Las acciones exteriores que recibe el sistema, pueden ser de dos clases: fuerzas vinculares o de enlace equivalentes a los vínculos que puede tener el sistema, y fuerzas activas o solicitantes.

Consideremos el punto Ak de un sistema y sean: Fki la resultante de las fuerzas interiore que los demás ejercen sobre el ; Fks, la fuerza solicitante que recibe, y Fkr, la fuerza vincular que soporta. Si el sistema esta en equilibrio se verifica que:

    \(F_{ki} + F_{ks} + F_{kr} = 0 \qquad (k = 1, \cdots , n) \)


No todos los puntos del sistema soportarían fuerzas solicitantes ni vinculares y por consiguiente en algunas de las ecuaciones anteriores serán Fks = 0 o Fkr = 0.

Si imaginamos un desplazamiento elemental y virtual del sistema, compatible son los enlaces, el punto Ak recorre el camino \(\delta A_k\) cuyo producto escalar por la ecuación anterior da:

    \((F_{ki} + F_{ks} + F_{kr})\delta A_k = 0 \qquad (k = 1, \cdots , n)\qquad (A) \)


Como el índice k es mudo esta ecuación simboliza, con la notación de Einstein, la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas del sistema, pues representa una sema de productos haciendo variar k desde 1 hasta n.
La ecuación (A) puede escribirse también en la forma:

    \(F_{ki}\delta A_k + F_{ks}\delta A_k + F_{kr}\delta A_k = 0 \)

Trabajo de las fuerzas interiores de un sistema indeformable Sean dos puntos cualesquiera Ak y Aj del sistema entre los que existen las acciones reciprocas \(f_{kj}= - f_{jk}\)

En un desplazamiento elemental del sistema el trabajo de las fuerzas anteriores es:

    \(f_{ki}\delta A_k + f_{ks}\delta A_j = f_{kj}(\delta A_k - \delta A_j) = f_{kj}\delta (A_k - A_j)\quad (T) \)

Pero dada la indeformavilidad del sistema, se tiene:

    \((A_k - A_j)^2 = 0\; ; \;(A_k - A_j)\delta(A_k - A_j) = 0 \)

Y por lo tanto los vectores \((A_k - A_j)\; y \; \delta(A_k - A_j)\) son ortogonales, de modo que la expresión (T) es nula por ser la dirección de fkj igual a la de Ak – Aj.

Al ser nulo el trabajo de las fuerzas interiores consideradas dos a dos. El trabajo total de todas ellas es también nulo.

Trabajo de las reacciones vinculares

Si lo que interesa es hallar las ecuaciones de equilibrio del sistema, conviene admitir un desplazamiento virtual en el que el trabajo de dichas reacciones se anule.

Si se trata de un sólido con uno o dos puntos fijos, es evidente que las fuerzas equivalentes a tales vínculos, y que pasan por dichos puntos fijos, no trabajan en todo desplazamiento del sólido compatible con los mismos.

TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Con las hipótesis hechas en el apartado anterior hemos llegado a la conclusión de que en todo desplazamiento compatible con los enlaces de un sistema indeformable y sujeto a vínculos sin razonamiento, los trabajos de las fuerzas interiores y de las reacciones vinculares son nulos, es decir:

    \(F_{ki}\delta A_k = 0\; ; \;F_{kr}\delta A_k = 0 \)

Por lo tanto, la ecuación:

    \(F_{ki}\delta A_k + F_{ks}\delta A_k + F_{kr}\delta A_k = 0 \)

Toma la forma:

    \( F_{ks}\delta A_k = 0 \)

Llamando simplemente Fs a la fuerza activa o solicitante aplicada al punto As, la ecuación anterior se escribe:

    \(F_s\delta A_s = 0 \qquad (k = 1, \cdots , n)\qquad (1) \)

Y teniendo en cuenta que:

    \( F_s = \hat{i}X_s + \hat{j}Y_s + \hat{k}Z_s \; ; \; \delta A_s = \hat{i}\delta x_s + \hat{j}\delta y_s + \hat{k}\delta z_s \)

La ecuación anterior convendrá a veces escribirla:

    \(X_s\delta x_s + Y_s\delta y_s + Z_s\delta z_s \qquad (2) \)

Las ecuaciones (1) y (2) simbolizan con la notación de Einstein la suma de los trabajos de todas las fuerzas solicitantes en el desplazamiento virtual y elemental del sistema. Son dos formas de presentarse el teorema de los trabajos virtuales. La (2) se denomina también ecuación general de la estática, pues con ella y las ecuaciones que definen los enlaces es posible determinar la configuración o configuraciones de equilibrio del sistema.

Monografía en 6 capítulos: Estática
 



tema escrito por: José Antonio Hervás