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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS

RESUMEN SOBRE LAS CÓNICAS

 
Se denominan secciones cónicas, o simplemente cónicas, las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por un plano que no pase por el vértice.
Si el plano secante corta a todas las generatrices de la superficie, la sección se denomina elipse. Si es paralelo a una sola generatriz la sección producida se llama parábola. Si el plano es paralelo a dos generatrices la sección recibe el nombre de hipérbola.
Si es \(\alpha\) el Angulo de las generatrices con el eje del cono, y \(\beta\) el Angulo que forma dicho eje con el plano de la sección, la naturaleza de la cónica viene determinada por las siguientes condiciones:

Si \(\alpha < \beta\) , se tiene una elipse
Si \(\alpha = \beta\) , se tiene una parábola
Si \(\alpha > \beta\) , se tiene una hipérbola

Cuando el plano de la sección es perpendicular al eje del cono, la sección es una circunferencia. De ahí que la circunferencia se considere como un caso particular de la elipse.

sección elíptica    sección parábolica    sección hiperbólica

Si M es un punto cualquiera de las tres secciones, se verificará

    \(\frac{MF}{MP}= K\)

Es decir, dicha relación es constante ara todos los puntos en dicha sección. se representa por \(\varepsilon\) y se llama excentricidad, siendo igual a la razón que exste entre los cosenos de los ángulos que forman con el eje del cono el plano de la sección y de las genératrices rectilíneas de la superficie cónica, es decir:

    \( \displaystyle \varepsilon = \frac{\cos \beta}{\sin \alpha}\)

de ahí se tiene

    Si la cónica es elipse\((\alpha < \beta), \varepsilon < 1\)

    si es parábola...........\((\alpha = \beta), \varepsilon = 1\)

    Si es hipérbola..........\((\alpha > \beta), \varepsilon > 1\)

Ecuación de las conicas métricas

Consideremos en el plano euclideo un sistema de referencia (O,i,j), un punto F de coordenadas \((\alpha , \beta)\) y una recta d cuya ecuación sea a.x + b.y + c = 0.

sección circular

Se define una cónica como el conjunto de los puntos del plano determinado por F y d tales que la razón de sus distancias al punto F y a la recta d es constante. El punto F se llama foco de la curva, y la recta d directriz de la misma La cónica se denominara elipse, parábola o Hipérbola, según que la razón constante sea menor, igual o mayor que la unidad.

foco de la curva
En virtud de la definición dada, los puntos tales como el P (fig. adjunta) han de satisfacer la siguiente relación:

    \( \displaystyle \varepsilon = \frac{PF}{PM} = \frac{\sqrt{(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}}{\displaystyle \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}} = \)
    \( \displaystyle = \frac{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}}{|ax + by + c|} \)

Que también podemos poner:

    \( \displaystyle = \frac{\varepsilon }{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\sqrt{(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}}{|a·x + b·y + c|}
    \)

Elevando al cuadrado, y llamando k a la expresión \(\varepsilon / (a^2 + b^2)\) se tiene:

    \( (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2- k(ax + by + c)^2 = 0 \)

Ecuación de segundo grado que representara una elipse, parábola o hipérbola según se tenga :

    \( k(a^2 + b^2) = \varepsilon\left\{ \begin{array}{c} < 1 \\ = 1 \\ > 1 \\ \end{array} \right. \)

Si tomamos el punto F como origen de un sistema de referencia ortonormalizado,

sistema ortonormalizado

y como eje 0X la perpendicular trazada por F a la directriz, la ecuación anterior se simplifica notablemente, ya que se tiene:

    \( \displaystyle \varepsilon = \frac{PF}{PM} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{ \displaystyle\frac{x+d}{\sqrt{1^2}}} \)


De donde podemos poner:

    \( x^2+y^2 - \varepsilon^2(x+d)^2 = 0 \)

Primer capítulo:

El problema de dos cuerpos

Monografía en 10 capítulos. Capítulo dos : Ecuación general de las cónicas
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás