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MONOGRAFIAS CIENTÍFICAS
FÍSICA CUÁNTICA

EFECTO TUNEL (EJERCICIO)

 
ESTUDIO DEL EFECTO TUNEL (PROBLEMA).

Se supone que un electrón con energía total E se mueve en una región de energía potencial cero. En x = 0 incide sobre una barrera de potencial \( V_o > 0 \) y anchura a.
    a) representar la figura correspondiente a la situación dada
    b) demostrar que las soluciones de la ecuación de onda son:

      \( \begin{array}{l} \Psi_1 = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x}\quad , \quad x < 0 \\  \\ \Psi_2 = Ce^{k_2x} + De^{-k_2x}\quad , \quad a < x < 0 \\  \\ \Psi_3 = Ee^{ik_1x} \qquad , \quad x > a \end{array} \)

    Dónde:

      \( \displaystyle k_1^2 = \frac{8\pi^2 mE}{\hbar^2}\quad ; \quad k_2^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}(V_o - E) \)


    c) expresar las constantes A, B y C en función de la amplitud E de la onda transmitida.

    d) Si se define el coeficiente de transmisión como:

      \( \displaystyle T = \frac{|E|^2}{|A|^2} \)

    Demuéstrese que:

      \( T \rightarrow 1 \textrm{ cuando } a \rightarrow 0 \quad ó \quad k_2 \rightarrow 0 \)


RESPUESTAS

Vamos a considerar un estado estacionario de energía correspondiente al caso en que la partícula viaje hacia la derecha. El esquema del proceso viene representado en la figura adjunta.

barrera de potencial

       Podemos aplicar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y en un supuesto unidimensional:

    \( \displaystyle \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{\hbar^2}[E - V(x)]\Psi = 0 \)
La ecuación de Schrödinger quedará para cada una de las regiones en la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    (I)\quad \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2}{\hbar^2m}·E\Psi = 0\quad (III) \\
     \\
    (II) \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2}{\hbar^2m}(E- V_o)\Psi = 0
    \end{array} \)
Las soluciones generales para cada caso son del tipo:
I)
    \( \Psi(x) = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x}\quad , \quad x < 0 \)
Con:
    \( \displaystyle k_1^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}·E \)
II)
    \( \Psi(x) = Ce^{k_2x} + De^{-k_2x}\quad , \quad a < x < 0\)
Con:
    \( \displaystyle k_2^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}(V_o - E) \)
III)
    \( \Psi(x) = Ee^{ik_1x} + Fe^{-ik_1x}\quad , \quad x > a\)
Podemos eliminar de la solución (III) la onda que viaja de derecha a izquierda por no tener realidad física. De ese modo, F = 0 y queda resuelta la segunda parte del problema.
c) la continuidad de \( \Psi(x) \) para todos valor de x nos permite escribir:
    \( (1) \quad \Psi^I(0) = \Psi^{II}(0)\quad ; \quad (2)\quad \Psi^{II}(a) = \Psi^{III}(a) \)
Análogamente, la continuidad de su derivada primera en todo el rango nos da:
    \( (3) \quad \Psi_d^I(0) = \Psi_d^{II}(0)\quad ; \quad (4)\quad \Psi_d^{II}(a) = \Psi_d^{III}(a) \)
De estas cuatro ecuaciones podemos obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    (1)\quad A + B = C + D \\
     \\
    (2) \quad C·e^{k_2a} + D·e^{-k_2a} = E·e^{ik_1a} \\
     \\
    (3)\quad ik_1A - ik_1B = k_2C - k_2D \\
     \\
    (4) \quad k_2C·e^{k_2a} + k_2D·e^{-k_2a} = ik_1E·e^{ik_1a}
    \end{array} \)
Estas relaciones lineales y homogéneas entre los coeficientes más podemos expresar en forma matricial:
    \( \displaystyle \left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & -1 & -1 \\
    0 & 0 & e^{k_2a} & e^{-k_2a} \\
    ik_1 & -ik_1 & -k_2 & k_2 \\
    0 & 0 & k_2e^{k_2a} & k_2e^{-k_2a} \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    A \\
    B \\
    C \\
    D \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    e^{ik_1a}E \\
    0 \\
    ik_1e^{ik_1a}E \\
    \end{array}
    \right) \)
A partir de esta ecuación podemos obtener la expresión de la función de onda a ambos lados de la barrera. Una solución interesante si tiene haciendo D = 0 qué representa una onda incidente desde la izquierda, que se transmite a través de la barrera hacia la derecha (efecto túnel). También aparece una onda reflejada de amplitud B.
La expresión de A, B y C en función de E se obtiene resolviendo la ecuación matricial. Aplicando la regla de Cramer tenemos que el determinante de la matriz de los coeficientes vale:
    \( \triangle = 4·ik_1k_2 \)
Y nos determinantes correspondientes a cada una de las variables:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \triangle_A = - 2Ee^{ik_1a}[(k^2_1-k_2^2)\sinh k_2a + 2i·k_1k_2\coth k_2a] \\
     \\
    \triangle_B = 2E·e^{ik_1a}(k_1^2 + k_2^2)\sinh k_2a \\
     \\
    \triangle_C = - 2E·e^{ik_1a}\left(ik_1k_2e^{-k_2a}- k_1^2e^{-k_2a}\right)
    \end{array} \)
De ese modo (tomando adjunto para simplificar los cálculos) tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A^\ast A = |A|^2 = |E|^2 \frac{(k^2_1-k_2^2)\sinh^2 k_2a + 4·k^2_1k^2_2\coth^2 k_2a}{4k_1^2k_2^2} \\
     \\
    B^\ast B = |B|^2 = |E|^2\frac{\left(k^2_1+k_2^2\right)^2\sinh^2 k_2a}{4k_1^2k_2^2} \\
     \\
    C^\ast C = |C|^2 = |E|^2 e^{-2k_1a}\left(\frac{k^2_1-k_2^2}{4k_1}\right)
    \end{array} \)
El coeficiente de transmisión vendrá dado por:
    \( \displaystyle T = \frac{|E|^2}{|A|^2} = \left[\frac{\left(k^2_1-k_2^2\right)\sinh^2 k_2a + 4k_1k_2\coth^2 k_2a}{4k_1^2k_2^2}\right]^{-1} \)
Pero recordando la expresión:
    \(\coth^2 k_2 a - \sinh^2 k_2 a = 1 \)
Y teniendo en cuenta los valores de \( k^2_1 \quad y\quad k_2^2 \), nos quedará:
    \( \displaystyle T = \left[1 + \frac{V_o^{\:2}·\sinh^2 k_2 a}{4E(V_o-E)}\right]^{-1} \)
Dónde es fácil ver que sí \( k_2 \rightarrow 0\; ó \; a \rightarrow 0 \) se tiene \( \sinh^2 k_2 a\rightarrow 0 \) y, en consecuencia,\( T \rightarrow 0 \), cómo queríamos demostrar.
Te han sido de utilidad estos apuntes de física cuántica?.- Recomiénda esta página!

 



tema escrito por: José Antonio Hervás