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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y CÁLCULO DE REACCIONES

 
CALCULO DE LAS REACCIONES

Proyectando la ecuación (39) sobre el eje se ha obtenido la ecuación (40), en la cual las fuerzas de ligadura se manifiestan por un momento de fricción de sentido contrario a \( \vec{w} \; \), cuando las ligaduras no son lisas.
Las reacciones se obtienen de la ecuación (38) y de la que resulta de proyectar la ecuación (39) sobre el plano normal al eje. Si la velocidad angular es constante:
    \(\displaystyle \vec{R} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = m · \vec{a_c} \)

    \(\overrightarrow{O O_1} \wedge \vec{F_1} + \overrightarrow{O O_2} \wedge \vec{F_2} = \vec {w} \wedge \vec{L} \qquad (44)\)
Generalmente el par activo tiene la dirección del eje, entonces: \( \vec{M_\bot} = 0 \; y \; \vec{R} \) es el peso.
Si el eje de giro contiene al Centro de Inercia \( (0 \equiv C) \Rightarrow \vec{a_c} = 0 \). Si además es eje principal de inercia \( \vec{w} \wedge \vec{L} = 0\) y el sistema (44) se reduce al:
    \(\displaystyle \vec{R} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = 0 \qquad ; \qquad \overrightarrow{C O_1} \wedge \vec{F_1} + \overrightarrow{C O_2} \wedge \vec{F_2} = 0 \qquad (45)\)
Las reacciones en los apoyos son las mismas que cuando el cuerpo no gira, si se prescinde del rozamiento. Se dice entonces que el cuerpo está DINAMICAMENTE EQUILIBRADO.

Según las ecuaciones (44) para que el sólido gire con velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por su C. de I. y no es eje principal, los cojinetes tienen que aplicar un momento
    \( M = \overrightarrow{C O_1} \wedge \vec{F_1} + \overrightarrow{C O_2} \wedge \vec{F_2} = \vec{w} \wedge \vec{L} \; \) (fig. 27, página anterior)
contenido en el plano normal al eje y que gire con el cuerpo. Si la velocidad angular es muy grande aunque el eje de giro difiera poco de un eje principal, es decir, aunque \( \vec{w} \; y \; \vec{L} \; \) formen un ángulo pequeño, \( \vec{w} \wedge \vec{L} \; \) puede ser grande y girar a gran velocidad. Los cojinetes soportan esfuerzos grandes que varían periódicamente y vibra la estructura que los sujeta.
ligaduras en una peonza asimétrica
Se dice que el sólido no está dinámicamente equilibrado. Tampoco lo está si el eje de giro es eje principal, pero no contiene al C. de I. En este caso se tiene: \( \vec{w} \wedge \vec{L} = 0 \) pero \( m · \vec{a_c} = m · \vec{w} \wedge (\vec{w} \wedge \vec{r_c}) \) es un vector dirigido hacia el eje, que gira con el cuerpo y cuyo módulo \( m.w^2 · r_c \) puede ser grande, aunque \( r_c \) sea pequeño.

En un satélite artificial donde el campo gravitatorio está justamente cancelado por un campo centrífugo no sería preciso fijar un eje del elipsoide central para que un sólido gire en torno a él. Sin embargo, sería preciso fijar el eje por dos puntos, si no es eje principal de inercia y por un punto si es eje principal, pero no contiene al C. de inercia.
PRECESIÓN FORZADA DE UN TROMPO RÁPIDO. GIROSCOPIO.- Veamos finalmente la precisión forzada que tiene lugar cuando una peonza simétrica está sometida a un momento perpendicular a su eje de simetría y contenido en un plano fijo en el espacio. El plano es horizontal en las figuras a y b y perpendicular a v en la figura c.
momento de inerciamomento de inerciamomento de inercia

La teoría completa que da cuenta de todas las particularidades es complicada, pero puede darse una explicación elemental de la precesión, que es el fenómeno más importante y único observable a simple vista, si el trompo o el giroscopio es rápido, es decir, si es grande . el estudio completo, muestra que, cuanto mayor es la velocidad de rotación , más lenta es la precesión y más imperceptible la nutación . Puede admitirse en un trompo rápido que el momento angular es el que corresponde a la rotación propia, es decir, despreciar frente a éste el momento angular asociado al movimiento de precesión y nutación. En tal aproximación \( \vec{M} \; y \; \vec{L}\) son ortogonales en todo instante.

De las ecuaciones:
    \( \vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt} \qquad (46) \quad y \quad \vec{M} · \vec{L} = 0 \)
Se deduce:
    \( \displaystyle L · \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} · L^2 \right) = 0 \qquad \Rightarrow \quad L = Cte \)
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente El giroscopio



tema escrito por: José Antonio Hervás