Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y EQUILIBRIO DINÁMICO

 
SÓLIDO CON UN EJE FIJO. EQUILIBRIO DINÁMICO

Un sólido con un eje fijo tienen un grado de libertad: el único movimiento posible es una rotación alrededor del eje, que está fijo en el sólido y en el espacio. La coordenada libre es el ángulo \( \varphi\) que forman dos semiplanos que contienen el eje, uno fijo en el espacio y otro ligado al cuerpo.

El sistema de fuerzas exteriores está constituido por las fuerzas de ligadura aplicadas en los puntos por los que se fija el eje, y las demás fuerzas aplicadas activas.
ligaduras en una peonza asimétrica
Si las ligaduras son lisas, las ecuaciones de las ligaduras pueden sustituirse por dos fuerzas \( \vec{F_1} \, y \; \vec{F_2}\) , si el eje se fija con dos cojinetes. Si \( \vec{R} \, y \; \vec{M}\) representan la resultante y el momento resultante de las fuerzas activa, se tiene:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{R} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = m · \vec{a_c} \qquad (38) \\ \\ \vec{M} + \overrightarrow{O O_1} \wedge \vec{F_1} + \overrightarrow{O O_2} \wedge \vec{F_2} = \frac{d\vec{L}}{dt} \qquad (39) \end{array} \)
Proyectando la ecuación (39) sobre el eje se eliminan las reacciones:
    \(\displaystyle M_c = \frac{d L_c}{dt} = \frac{d(Iw)}{dt} = I\frac{d^2 \varphi}{dt^2} = I · \alpha \quad (40)\)
La ecuación de la energía del sólido con un eje fijo es:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{M} · \vec{w} = M_c · w = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}I · w^2\right) \quad \textrm{ o bién } \\ \\ \int _{\varphi_1}^{\varphi_2} M_c · d \varphi = \Delta \left(\frac{1}{2}I · w^2\right) \qquad (41) \end{array}\)
    \(\displaystyle \int _{t_1}^{t_2} M_c · d t = \Delta \left(I · w\right) \)
especialmente indicada cuando el par activo es percusivo.

Si las ligaduras no son lisas, las fuerzas de rozamiento originan un momento \( \vec{M_r} \) en la dirección del eje y sentido contrario a \( \vec{w} \; \), que hay que introducir en la ecuación (40). Si el eje fijo contiene al C. de I. del sólido, \( \vec{M_r} \) se obtiene de la medida del tiempo que tarda el sólido en pararse, después de comunicarle una velocidad angular conocida \( w_0 : M_r · t = I · w_0 \).

Si el eje de giro contiene al Centro de Inercia y es un eje principal (fig. 2 a), \( \vec{L} \; \) coincide con \( \vec{w} \; \) y el sólido giraría alrededor de ese eje, como eje fijo en el espacio y en el sólido, aunque estuviera sujeto solo or el punto G. Si el eje de giro no es eje principal de inercia, \( \vec{L} \; \) no tiene la dirección de \( \vec{w} \; \) y si el cuerpo se fijara solo por el punto C, el eje instantáneo describiría el cono del espacio alrededor del vector fijo en el espacio \( \vec{L} \; \), y el cono del cuerpo, siempre que el cuerpo sea un trompo simétrico y la rotación libre (fig. 26b). Si se fija el eje por dos puntos \(0_1 y \; 0_2 \), se obliga a \( \vec{w} \; \) a tener una dirección fija en el espacio y en el cuerpo y al vector \( \vec{L} \; \) a quedar fijo en el cuerpo, pues si
    \( \vec{w} = w_1 · \hat{e}_1 + w_2 · \hat{e}_2 + w_3 · \hat{e}_3 \)
está fijo en el cuerpo, aunque varíe su módulo, también lo está.
precesión en una peonza simétricaprecesión en una peonza simétrica
    \( \vec{L} = I_1 · w_1 · \hat{e_1} + I_2 · w_2 · \hat{e_2} + I_3 · w_3 · \hat{e_3} \)
Por lo tanto en el espacio, \( \vec{L} \; \) gira con el cuerpo y describe un cono de abertura constante. Si el módulo \( \vec{w} \; \) es constante, también es constante el módulo L; de ahí se tendría (dL/dt)cuerpo = 0 y según el teorema de Coriolis:
    \( \displaystyle \left(\frac{d}{dt}\right)_{espacio} = \left(\frac{d}{dt}\right)_{cuerpo} + \vec{w} \wedge \vec{L} \)
Será entonces:
    \( \displaystyle \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{w} \wedge \vec{L} \qquad (43) \)
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Cálculo de reacciones



tema escrito por: José Antonio Hervás