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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y ROTACIÓN LIBRE - PEONZAS

 
ROTACIÓN LIBRE DE UNA PEONZA SIMÉTRICA

Los demás puntos tienen superpuesto a este un movimiento de rotación propia uniforme según se deduce de la ecuación (34).
    \(\displaystyle w_3 = w_c + \Omega · \cos \theta = L_3/I_3 = L · \cos \theta / I_3 \quad \)

    \( \vec{w_c} = \dot{\psi} = L\left(\frac{1}{I_3} - \frac{1}{I_1}\right) \cos \theta \qquad (37) \)
La rotación libre de una peonza simétrica es una rotación uniforme en torno al eje de simetría del elipsoide y una precesión regular alrededor de \( \vec {L} \) , vector de orientación fija en el espacio.

Si se tiene \(\theta = 0 \) entonces, según se desprende de (36) y (37)
    \( \vec{w} = \vec{\Omega} + \vec{w_c} = \vec{L}/I_3 \)
y resulta que no hay precesión.
Si se tiene \(\theta = \pi/2 \) entonces \( \vec{w_c} = \vec{w_3} + \hat{w_3} = \vec{L_3}/I_3 = 0 \quad y \quad \Omega = L/I_1 \) y solo hay precesión, teniéndose Como L,w y e son coplanarios, el eje instantáneo de giro (w) precede con velocidad \( \Omega \) en torno de \( \vec {L} \) , describiendo el cono del espacio de abertura \( \theta - \varphi \) constante (al ser constantes \( \Omega , w_c \; y \; \theta \) también lo son w y \( \varphi \)).

Para un observador fijo al cuerpo el eje instantáneo describe el cono del cuerpo de abertura \( \varphi \) alrededor de \( \hat{e}_3 \). En cada instante dos puntos de eje instantáneo tienen velocidad nula y puede describirse el movimiento propio del cuerpo engranando el cono del cuerpo en el cono del espacio manteniendo fijo éste.
El punto en que corta el eje instantáneo a la superficie del elipsoide se llama polo y POLODIA la curva que describe el polo sobre la superficie del elipsoide. En una peonza esférica las polodias son circunferencias, paralelos del elipsoide.
precesión en una peonza simétrica

La tierra es una peonza simétrica y el momento sobre ella es tan pequeño que cabe considerar su rotación como libre. \( I_3 > I_1 \) y el eje de giro no coincide exactamente con \( \hat{e}_3 \). Para un observador terrestre el polo debería describir un círculo cada 300 ó 305 días. El movimiento del observador es bastante regular con un periodo de 420 días y amplitud variable dando lugar a lo que se denomina variación de latitud. Las fluctuaciones de la amplitud tienen interés metereológico, pues se deben a movimientos de la atmósfera.
Si el sólido es una PEONZA ASIMETRICA la rotación libre es complicada.

En la figura aparecen dibujadas las polodias sobre el elipsoide de inercia. El eje instantáneo recorre una de ellas, dependiendo de las condiciones iniciales.
peonza asimétrica

Todas las polodias son cerradas y el desplazamiento de \( \vec{w} \; \)respecto del sólido es periódico; en un periodo el eje instantáneo describe la polodia y vuelve a la posición de partida.

Las trayectorias próximas a los vértices del elipsoide son distintas: en las proximidades de \( \hat{e_1} \; y \; \hat{e_3}\) las polodias rodean a los vértices, pero las que pasan por \( \hat{e_2} \) se apartan mucho del eje.

Esta diferencia está relacionada con la distinta estabilidad de la rotación de una peonza asimétrica en torno de us tres ejes principales. La rotación en torno a \( \hat{e}_1 \; y \; \hat{e}_3\) es estable y la rotación en torno a \( \hat{e}_2 \) es inestable.
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Sólido con un eje fijo



tema escrito por: José Antonio Hervás