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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y ROTACIÓN LIBRE

 
ROTACIÓN LIBRE

El movimiento propio de un sólido o el movimiento de un sólido con un punto fijo es una rotación libre si es nulo el momento resultante de las fuerzas exteriores respecto del centro de inercia, en el primer caso y respecto del punto fijo en el segundo.
En uno y otro caso se tiene:
    "\(\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{L} = Cte \qquad (29) \)
En la rotación libre el momento angular es un vector constante en el referencial propio o en el R.S.

Si el sólido es una peonza esférica se tiene:
    \(\vec{L} = Cte \quad \vec{W} = Cte \qquad (30) \)
se tiene entonces que la rotación libre es una rotación uniforme en torno a un eje que tiene un orientación fija en el espacio y pasa por el C. de I. o por el punto fijo.

Si el sólido es una peonza simétrica, en general, \( \vec{L} \; \) y \( \vec{w} \; \) tienen direcciones distintas. Puede elegirse el eje Z del R.P. coincidiendo con \( \vec{L} \; \) y como eje e del R.S. el eje de simetría del elipsoide de inercia y descomponer \( \vec{w} \; \) en tres vectores en las direcciones del triedro oblícuo que forman los ejes Z, \( \hat{e_3}\) y la línea de nodos.
momento de inercia

    \(\vec{w} = \vec{\Omega} + \vec{w_c} + \vec{w_N} \)
Donde se tiene:

    \( \vec{\Omega} = \dot{\phi} · \hat{k}\) es la velocidad de precesión

    \( \vec{w_c} = \dot{\psi} · \hat{e_3}\) es la velocidad de rotación propia

    \( \vec{w_N} = \dot{\theta} · \hat{e}_2\) es la velocidad de nutación.
peonza simétrica
Si el sólido es una peonza simétrica los otros dos ejes del sólido \( \hat{e}_1 \; y \; \hat{e}_2\) ; pueden ser cualesquiera normales entre sí y a \( \hat{e}_3 \). En un instante cualquiera puede elegirse \( \hat{e_2} \) en la línea de nodos norma a \( \vec {L} \) y \( \hat{e}_3 · \hat{e}_2\) sería de ese modo el eje fijo del sólido que en ese instante coincide con la línea de nodos. Se tendría así:
    \(L_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{w_2} = \vec{w_N} = \dot{\theta} \quad \Rightarrow \quad \theta = Cte \qquad (33) \)
Si la peonza fuera asimétrica también sería nula la componente de \( \vec {L} \; \) sobre la línea de nodos, pero esta línea no podría hacerse coincidir en un instante con la línea de nodos y no se tendría \( \dot{\theta} = 0 \).

La velocidad en un punto cualquiera del sólido es la superposición de dos velocidades.
    \( \vec{v} = \vec{w} \wedge \vec{r} = \vec{\Omega} \wedge \vec{r} + \vec{w_c} \wedge \vec{r} \qquad (34) \)
Los puntos del sólido con velocidad nula son los del eje instantáneo, y los del eje de simetría del elipsoide tienen un velocidad que vale:
    \( \vec{v} = \vec{w} \wedge r · \hat{e_3} = \vec{\Omega} \wedge r · \hat{e_3} \qquad (35) \)
el eje de la peonza describe un cono alrededor de \( \vec {L} \) con velocidad angular \( \vec {\Omega} \) constante:
    \( w_1 = - \Omega · \sin \theta = L_1/I_1 = - L · \sin \theta / I_1 \quad ; \quad \Omega = \dot{\phi} = L/I_1 \qquad (36) \)
es el llamado movimiento de precesión regular libre.
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Rotación libre de una peonza



tema escrito por: José Antonio Hervás