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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

 
CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA - CONTINUACIÓN

c) Momentos principales centrales de inercia de una lámina rectangular.-

Calculemos en primer lugar \(I_y\) ; suponemos que tenemos dos láminas unidas por los extremos, con lo cual cada una tendrá una anchura de a/2.
Una porción diferencial de la lámina, dm, valdrá
    \( dm = \sigma · dS = \sigma · b · dx\)

siendo \( \sigma \) la densidad superficial. De ese modo, tenemos:
    \( \displaystyle I_y = \int_0^{R/2} x^2 · dm = \int_0^{R/2} x^2 · \sigma · b · dx \)
Como tenemos dos láminas, será en realidad:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_y = 2 · \sigma \int_0^{R/2} x^2 · b · dx = \left[2 · \sigma · b · \frac{x^3}{3}\right]_0^{R/2} = \\ \\ = \frac{1}{12}· \sigma · b · a^3 = \frac{1}{12}· m · a^2 \end{array}\)
Momento de inercia de un paralelepípedo
d) Momentos principales de inercia de un paralelepípedo recto.- Podemos asimilar en los tres casos la coordenada respectiva a un valor aproximadamente nulo, con lo que tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_z = \frac{1}{12}· m \left(a^2 + b^2 \right) \quad ; \quad I_y = \frac{1}{12}· m \left(b^2 + c^2 \right) \\ \\ I_x = \frac{1}{12}· m \left(a^2 + c^2 \right) \end{array}\)
Momento de inercia de un paralelepípedo
en el caso general se tiene:
    \( I_z > I_x > I_y \)
e) momentos principales de inercia de un cilindro.- Siendo \( \tau \) la densidad el material, un dm valdrá:
    \( dm = \tau · dV = \tau ( 2 \pi · r · dr) h \)
el momento de inercia viene dado por:
    \( \displaystyle I_3 = \int _0^R r^2 dm = 2 \pi · \tau · h \int _0^R r^3 dr = \frac{1}{2} \left( \pi · R^2 · h · \tau \right) R^2 = \frac{1}{2} m · R^2\)
Los otros dos momentos podemos calcularlos según \( I_z \), pues tenemos:
    \(I_x = I_y \quad ; \quad I_z = I_x + I_y = 2 · I_x \quad ; \quad I_x = \frac{1}{4} · m · R^2\)
aplicando ahora el teorema de Stainer, tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} I_1 = I_2 = 2 \int_0^{h/2}\left[\frac{1}{4}\left(\tau · A · dx\right)R^2 + \left(\tau · A · dx\right)x^2\right] = \\ \\ = 2 · \tau · A \int_0^{h/2} \left(\frac{1}{4} · R^2 + x^2\right) dx = \\ \\ = 2 · \tau · A \left(\frac{1}{8} · R^2 · h + \frac{1}{24} · h^3\right) = \\ \\ = 2 · \tau · A · \frac{h}{8} \left(R^2 + \frac{1}{3} · h^2\right) = \frac{1}{4} · m \left(R^2 + \frac{1}{3} · h^2\right) \end{array} \)
Los momentos de inercia son por tanto:
    \(\displaystyle I_3 = \frac{1}{2} · m · R^2 \quad ; \quad I_1 = I_2 = \frac{1}{4} · m \left(R^2 + \frac{1}{3} · h^2\right) \)
momento de inerciamomento de inerciamomento de inercia
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Rotación libre



tema escrito por: José Antonio Hervás