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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y GEOMETRÍA DE MASAS

 
CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS CUERPOS DE GEOMETRÍA SENCILLA

Desde el punto de vista macroscópico un sólido es un sistema continuo (estadísticamente continuo) y la suma, para todos los puntos es una integral extendida a todo el cuerpo:
    \( \displaystyle I_c = \sum_i m_i \rho_i^2 = \int \rho^2 · dm = \int r^2 · dm \qquad (29) \)
Cada elemento debe ser muy pequeño frente al observador y los aparatos de medida, pero suficientemente grande para que no se aparte del comportamiento promedio y para ello debe contener un número grande de moléculas.

En física se utiliza el cálculo diferencial e integral, si bien los términos diferenciales son en realidad incrementos cuyo cuadrado es despreciable.
momento de inercia de una esfera
a) momento de inercia de una esfera, respecto de un eje por su centro.- según la fórmula (27), hemos visto que para la esfera se tiene:
    \( \displaystyle I_x = I_y = I_z = I \Rightarrow I = \frac{2}{3} · I_c \)
Y que \(I_c \) viene dado, en general por la ecuación (29). Tomando dm en la forma:
    \( dm = \tau · dV = 4 · \pi · r^2 · \tau · dr \)
podemos integrar y siendo \( \tau \; \) la densidad del cuerpo tenemos:
    \( \displaystyle I_c = \int r^2 · dm = 4 · \pi · \tau \int_0^R r^4 · dr = \frac{4}{5} · \pi · \tau · R^5 \)
Multiplicando y dividiendo la expresión obtenida por 3, se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_c = \frac{4}{5} · \pi · \tau · R^5 = \frac{3}{5} · \frac{4}{3} · \pi · R^3 · \tau · R^2 = \\ \\ = \frac{3}{5}\left(\frac{4}{3} · \pi · R^3 · \tau \right) R^2 = \frac{3}{5} · m · R^2 \end{array} \)
Sustituyendo el valor obtenido de \( I_c \), tenemos para I el valor:
    \( \displaystyle I = \frac{2}{3} · I_c = \frac{2}{3} · \frac{3}{5} · m · R^2 = \frac{2}{5} · m · R^2\)
momento de inercia de una varilla
b) momento de inercia de una varilla respecto de un eje perpendicular por su extremo:
    \( \displaystyle I = \lambda \int_0^l x^2 · dx = \frac{1}{3} · \lambda · l^3 \)
Siendo \( \lambda \; \) el valor de la densidad lineal de la varilla, podemos sustituir el producto por la masa del cuerpo, con lo que nos queda:
    \( \displaystyle I = \frac{1}{3} · m · l^2 \)
Respecto de un eje perpendicular, por su centro. Si aplicamos el teorema de Steiner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I = I_c + m · d^2 \quad \Rightarrow \quad I_c = I - m · d^2 = \\ \\ = \frac{1}{3} · m · l^2 - m \left(\frac{1}{2} · l\right)^2 = \frac{1}{12} · m · l^2 \end{array}\)
Obtenemos el resultado buscado.
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás