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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y FÓRMULA DE STEINER

 
FÓRMULA DE STEINER

La formula de STEINER relaciona los momentos de inercia respecto de dos ejes paralelos, uno de ellos por el centro de inercia.
    \(\rho_i^2 = \rho'_i^2 + d^2 - 2 · \rho'_i · d · \cos \alpha_i \quad ; \quad \rho'_i · \cos \alpha_i = x'_i \)

    \( \displaystyle I = \sum_i m_i \rho_i^2 = \sum_i m_i \rho'_i^2 + \sum_i m_i · d^2 - 2 · d · \sum_i m_i x'_i \)
El término
    \( \displaystyle - 2 · d · \sum_i m_i x'_i \)
se anula puesto que la distancia d es perpendicular a \(x'_i \), por lo tanto nos queda:
    \( I = I_c + m · d^2 \qquad (26) \)
Las dos formulas permiten calcular el momento de inercia respecto de cualquier eje, si se conocen los tres momentos principales del elipsoide central.
Así, por ejemplo, si el sólido tiene un eje de simetría, este contiene al C. de I. y es eje principal. Si el sólido es de revolución los otros dos ejes principales son dos cualesquiera perpendiculares a el.
Si el sólido, en distribución de las masas, tiene alguna simetría, la determinación de los ejes principales se simplifica, pues la posición del C. de I. y la orientación de los ejes, tienen la misma simetría.

Si el sólido tiene un plano de simetría, este contiene al C. de I. y a dos ejes principales, siendo el tercero perpendicular al plano.

En la fig. 11, tenemos:
fórmula de Steinermomento de inercia de un sólido
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_z = \sum_i m_i \left(x_i^2 + y_i^2\right) \quad ; \quad I_y = \sum_i m_i \left(x_i^2 + z_i^2\right) \\ \\ I_x = \sum_i m_i \left(y_i^2 + z_i^2\right) \end{array}\)
De ahí podemos hacer:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_x + I_y + I_z = 2 · \sum_i m_i x_i^2 + 2 \sum_i m_i y_i^2 + 2 \sum_i m_i z_i^2 = \\ \\ = 2 \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 + z_i^2\right) \end{array} \)
    \( \displaystyle = 2 \sum_i m_i OP_i^2 = 2 · I_o \qquad (27) \)
Si el sólido es una lámina (fig 12), se tiene:
    \( z_i \simeq 0 \Rightarrow I_z = I_x + I_y \qquad (28) \)
momento de inercia de una lámina
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Cálculo de momentos



tema escrito por: José Antonio Hervás