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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y MOMENTO DE INERCIA

 
MOMENTO DE INERCIA

Interesa conocer como varía el momento de inercia, al variar la orientación del eje que pasa por el punto C del sólido.
Tomando a partir de C sobre cada dirección en uno y otro sentido un segmento \(CP = 1/ \sqrt{I}\) ,siendo I el momento de inercia respecto de ese eje, SE DEMUESTRA que el lugar de los puntos P en el caso más general es un elipsoide de tres ejes que son precisamente los ejes principales del sólido en ese punto. Este cuerpo recibe el nombre de elipsoide de inercia y si el punto C es el centro de inercia del sólido, elipsoide central de inercia. Los semiejes del elipsoide son:
    \( \displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{I_1}} \quad ; \quad b = \frac{1}{\sqrt{I_2}} \quad ; \quad c = \frac{1}{\sqrt{I_3}} \)
En el triedro del sólido, formado por los ejes principales, la ecuación del elipsoide es:
    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
Que sustituyendo en las formulas anteriores se puede poner:
    \( I_1 · x^2 + I_2 · y^2 + I_3 · z^2 = 1\)
Si el sólido es una peonza simétrica, se tiene:
    \( I_1 = I_2 \quad ó \quad a = b \)
Entonces el elipsoide es de revolución. Si el sólido es una peonza esférica, el elipsoide es una esfera.
elipsoide de revolución
Un eje que pasa por C viene determinado por sus cosenos directores:
    \( \displaystyle \alpha_1 = \frac{x}{\overrightarrow{CP}} \quad ; \quad \alpha_2 = \frac{y}{\overrightarrow{CP}} \quad ; \quad \alpha_3 = \frac{z}{\overrightarrow{CP}} \)
Donde x,y,z son las coordenadas del punto P sobre el elipsoide y \(\overrightarrow{CP} = 1/ \sqrt{I}\).

Introduciendo las coordenadas x,y,z en la ecuación del elipsoide, se obtiene la formula de POISONT:
    \(I = I_1 · \alpha_1^2 + I_2 · \alpha_2^2 + I_3 · \alpha_3^2 \qquad (25) \)
Que permite calcular el momento de inercia del sólido respecto de un eje cualquiera por C.
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Fórmula de Steiner



tema escrito por: José Antonio Hervás