Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFIAS TÉCNICAS
DINÁMICA DEL SÓLIDO

MOMENTO ANGULAR Y GEOMETRÍA DE MASAS

 
DINÁMICA DEL SÓLIDO - SISTEMA DE PUNTOS RÍGIDO

Las ecuaciones de la dinámica de los sistemas:
    \( \displaystyle \vec{R} = \frac{d\vec{P}}{dt}\qquad y \qquad \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} \qquad (1) \)
Se aplican al caso importante de un SISTEMA de puntos RÍGIDO.

El sistema anterior que viene determinado por seis ecuaciones, es en este caso suficiente, pues seis son los grados de libertad de un sólido: tres coordenadas lineales de un punto, generalmente su centro de inercia (\(X_c,Y_c,Z_c)\), donde se sitúa el origen del triedro propio (R.P.), y tres coordenadas angulares, llamadas los ángulos de Euler (\(\psi, \phi, \theta\)), rotación propia, precesión y nutación.
El campo de velocidades del sólido queda definido por el vector:
    \(\vec{v_c} = \dot{x}_c·\hat{i} + \dot{y}_c·\hat{j} + \dot{z}_c·\hat{k}\)
Y el seudovector \( \vec{w} \; \) puede también expresarse en función de \(\dot{\psi}, \dot{\phi} \textrm{ y } \dot{\theta}\), velocidades de rotación propia, precesión y nutación.
    \(\vec{v_i} = \vec{v_c} + \vec{w}\wedge \vec{r_i} \qquad ; \qquad \vec{v'_i} = \vec{w}\wedge \vec{r_i} \)
Según la ecuación superior izquierda, el movimiento de un sólido en el caso mas general, es la superposición de un movimiento de traslación con velocidad \(\vec{v_c}\) y uno de rotación alrededor de un eje por C en la dirección de \( \vec{w} \; \).
Tanto \(\vec{v_c}\) como \( \vec{w} \; \) pueden variar en modulo y dirección con el tiempo.
La ecuación derecha, de las superiores, describe el campo de velocidades en el Referencial Propio , donde solo se manifiesta el movimiento de rotación.
Las ecuaciones de la dinámica de los sistemas, vistas anteriormente (1), pueden adoptar la forma siguiente:
    \( \displaystyle \vec{R} = m· \vec{a_c} \textrm{ o bien } \vec{R} · \vec{v_c} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2_c \right) \qquad (4) \)
Cuando se escriben en base a un Referencial Inercial (R.I)
solido en movimiento
    \( \displaystyle \vec{M'} = \frac{d\vec{L'}}{dt} \quad ; \quad P'_{ext} + P_{int} = \frac{d\vec{E'_c}}{dt} \qquad (5) \)
Cuando se expresan en base al Referencial Propio (R.P.)
La potencia desarrollada por las fuerzas interiores es:
    \( P_{int} = \displaystyle\sum_i \left( \vec{f}_{ij}· \vec{v_i} + \vec{f}_{ji}· \vec{v_j} \right) \)
Extendida la suma a todas las parejas de puntos.

Si las fuerzas son centrales:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\vec{f}_{ij} = - \vec{f}_{ji}\right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow P_{int} = \sum_i \vec{f}_{ij} \left(\vec{v_i} - \vec{v_j} \right) = \sum_i \vec{f}_{ij} \vec{v}_{\; ij} \quad (6) \end{array}\)
Y tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia.

Téngase en cuenta, que el formulismo de Newton solo se aplica a interacciones centrales, que satisfacen a la ley de acción - reacción.
 
Monografía en 16 capítulos: Dinámica del sólido. Capítulo siguiente Ecuaciones



tema escrito por: José Antonio Hervás