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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
TERMODINÁMICA

CICLO DE CARNOT - TEOREMA DE CARNOT

 

EXPLICACIÓN DEL CICLO DE CARNOT - DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE CARNOT

En esta monografía llegaremos a la posibilidad de medir la temperatura en una escala absoluta, es decir, independiente de la sustancia empleada como termómetro, aplicando el enunciado de Kelvin-Plank. Las relaciones obtenidas nos permitirán llegar, en otra monografía a la existencia de la función entropía y establecer el segundo principio de forma analítica.

El mejor motor que funcione entre dos focos será aquel que, a partir de una cantidad de calor, Q1, absorbida en el foco caliente, ceda la menor cantidad de calor al foco frio, pues de ese modo el trabajo producido será máximo, es decir, el rendimiento:
    \( \displaystyle \eta = 1 - \frac{Q_1}{Q_2} \)
será máximo.

Con objeto de estudiar las características de dicho motor vamos a analizar los motores reversibles que trabajan entre dos focos.

Un motor reversible es el que recorre un ciclo formado por evoluciones reversibles, por lo tanto, podrá funcionar como frigorífico con las mismas características. Si solo se tienen dos focos, las únicas transformaciones reversibles serán las isotermas y las adiabáticas cuasiestáticas. Un ciclo formado por estas líneas recibe el nombre de ciclo de Carnot.

En la figura del párrafo siguiente, se representa un ciclo de Carnot, Los focos se encuentran a las temperaturas \(\theta_1 \; y \; \theta_2\).

Desde el punto 1 al 2 se produce una expansión isoterma. En el punto 2 se colocan paredes adiabáticas. Desde el punto 2 hasta el 3 se produce una expansión adiabática cuasiestática. Desde el 3 hasta el 4 una compresión isoterma y, finalmente, desde el punto 4 hasta el 1 se produce una compresión adiabática.

El trabajo producido en el proceso viene dado por el valor del área rallada. Un ciclo de estas características es el único ciclo reversible entre dos focos.

Cualquier sustancia puede recorrer un ciclo de Carnot (el agua, el alcohol, un gas perfecto, etc., son sustancias que pueden utilizarse perfectamente). El enunciado de Kelvin-Plank nos proporciona la solución de saber qué motor, entre todos los posibles, será el de mayor rendimiento. Para ello, supongamos dos motores de Carnot, R y R' con las siguientes características:
    \( \begin{array}{cc}
    R & R' \\
    & \\
    absorve\; Q_1 & absorve \;Q'_1 \\
    & \\
    Cede \;Q_2 & Cede \;Q'_2 \\
    & \\
    W = Q_1 - Q_2 & W = Q'_1 - Q'_2
    \end{array} \)
ciclo de Carnot
Puesto que los dos motores son reversibles, cualquiera de ellos puede trabajar como frigorífico. Vamos a hacer, entonces, que el R" funcione como frigorífico.

Supongamos que R y R’ realizan m y n ciclos respectivamente, donde m y n son números enteros que satisfacen la relación:
    \( m·Q_1 = n·Q'_1 \qquad (1) \)
En tales condiciones, el foco caliente queda invariable al finalizar el proceso, y del foco frió se extraen:
    \( n·Q_2 - m·Q'_2 \)
calorías que, de acuerdo con el primer principio, se convertirán en trabajo.

El enunciado de Kelvin-Plank requiere que se cumpla:
    \(n·Q_2 \geq m·Q'_2\qquad (2) \)
Por otra parte, si es el motor R el que funciona como frigorífico, se tendrá que verificar:
    \( n·Q_2 \leq m·Q'_2\qquad (3) \)
y para que ambas relaciones se cumplan deberá ser:
    \( n·Q'_2 = m·Q_2\qquad (4) \)
Teniendo en cuenta la relación (1) se tiene que el cociente:
    \( \displaystyle \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{Q'_1}{Q'_2} \)
es una función universal de las temperaturas \(\theta_1 \; y \; \theta_2\) de los dos focos, independiente de de la sustancia que evolucione en el ciclo. En otras palabras, todos los motores de Carnot tienen el mismo rendimiento. Podemos escribir entonces:
    \( \displaystyle \frac{Q_1}{Q_2} = f(\theta_1 \, , \, \theta_2) \qquad (5) \)
Es fácil de demostrar que el motor de Carnot es el de máximo rendimiento. Para ello supongamos un motor cualquiera, A, con las características que indica la figura.

Le acoplamos un motor de Carnot que absorba la misma cantidad de calor del foco caliente. Si el motor de Carnot funciona como frigorífico, el enunciado de Kelvin-Plank requiere que se cumpla:
    \(Q_2 \leq Q'_2 \)
motor de Carnot

y, consecuentemente, el rendimiento del motor de Carnot es el máximo, es decir:
    \( \eta (A) \leq \eta(B) \quad (6) \)
esta conclusión constituye el teorema de Carnot.
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás