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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
ANÁLISIS NUMÉRICO

CÁLCULO VECTORIAL - ROTACIONAL

 
CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL (capítulo 4)

CAMPOS SELENOIDES. ROTACIONAL


Hemos llamado campos selenoides a aquellos cuyas líneas vectoriales eran cerradas, sin cortarse entre si. De esta naturaleza es, por ejemplo, el campo creado por una corriente eléctrica ; también lo es el campo de velocidades de un movimiento turbulento.

Definiremos el rotacional en un punto O, de un campo selenoidal diciendo que es un vector R = rot P tal que el flujo vectorial a través de un elemento superficial dS que contiene a O, es igual a la circulación de la acción, P, del campo a lo largo del contorno, c, que limita dS, de modo que si \(R_n\) es la componente de R normal a dS, se tiene:

    \( \displaystyle R_n dS = \oint_C PĚdA \)
Si se elije un circuito c1 a lo largo del cual sea máxima la circulación, se obtiene de la ecuación anterior el valor máximo de Rn, es decir, el módulo R del rotacional.

COMPONENTES CARTESIANAS DEL ROTACIONAL

Para calcular la componente Rx, consideramos el elemente superficial dS1 = DABC paralelo al plano Oyz y calculamos la circulación de P a lo largo del contorno DABC en el sentido marcado por las flechas.

Si \(P = \hat{i}·X + \hat{j}·Y + \hat{k}·Z\) es la acción el campo en A, su trabajo al recorrer su punto de aplicación el camino AB es:

    \( \displaystyle \int_{AB}PĚdS = YĚdy \)
En B la acción del campo es:
Cálculo vectorial
    \( \displaystyle P' = \left(X +\frac{\delta X}{\delta y}dy\right)\hat{i} + \left(Y +\frac{\delta Y}{\delta y}dy\right)\hat{j} + \left(Z +\frac{\delta Z}{\delta y}dy \right) \hat{k} \)
Y su trabajo al recorrer su punto de aplicación el camino BC es:
    \( \displaystyle \int_{AB}PĚdS = \left(Z +\frac{\delta Z}{\delta y}dy \right)dz \)
Del mismo modo se obtiene:
    \( \displaystyle \int_{AB}PĚdS = \left(-Y +\frac{\delta Y}{\delta z}dz \right)dy \; ; \; \int_{DA}PĚdS = - ZĚdz \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{AB}P·dS + \int_{BC}P·dS + \int_{CD}P·dS + \int_{DA}P·dS = \\
    \\
    \left(\frac{\delta Z}{\delta y}- \frac{\delta Y}{\delta z}\right)dydz
    \end{array} \)
Siendo entonces la componente del rotacional:
    \( \displaystyle R_x = \oint_{\frac{ABCDA}{dydx}}PĚdS = \left(\frac{\delta Z}{\delta y}- \frac{\delta Y}{\delta z}\right) \)
Del mismo modo se deducen las otras dos componentes:
    \( \displaystyle R_y = \left(\frac{\delta X}{\delta z}- \frac{\delta Z}{\delta x}\right)\quad ; \; R_z = \left(\frac{\delta Y}{\delta x}- \frac{\delta X}{\delta y}\right) \)
Es interesante observar que:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    R = rot P = \nabla \wedge P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
    \frac{\delta }{\delta x} & \frac{\delta }{\delta y} & \frac{\delta }{\delta z} \\
    X & Y & Z \\
    \end{array}
    \right) = \\
    \\\\\\
    = \left(\frac{\delta Z}{\delta y}- \frac{\delta Y}{\delta z}\right)\hat{i}+
    \left(\frac{\delta X}{\delta z}- \frac{\delta Z}{\delta x}\right)\hat{j}+
    \left(\frac{\delta Y}{\delta x}- \frac{\delta X}{\delta y}\right)\hat{k}
    \end{array} \)
TEOREMA DE GAUSS

Sea una región de un campo vectorial limitada por una superficie cerrada, S. El flujo emitido por un elemento de volumen es \(d \phi = div P·dV\) y, por lo tanto, el que emite todo el volumen limitado por una superficie S es:
    \( \displaystyle \phi = \int_V div \; PĚdV = \int_V \nabla PĚdV \)
Como este flujo sale por S, viene dado también por la siguiente integral de superficie:
    \( \displaystyle \phi = \int_S P_nĚdS = \int_S PĚnĚdS \)
Extendida a la cara exterior de S.

Igualando las dos expresiones anteriores de Φ resulta:
    \( \displaystyle \int_V PĚdV = \int_S P_nĚdS \)
Que es la conocida fórmula de Gauss – Ostrogradsky.

Supongamos ahora que todos los centros emisores de flujo (masas activas), es decir, los puntos de divergencia no nula, y del mismo signo, están envueltos por una superficie cerrada. Esta superficie estará atravesada por un flujo igual al número de líneas vectoriales que nazcan (en el caso de ser manantiales) o mueran (caso de ser sumideros) en dichos puntos.

Se comprende que si consideramos otra superficie cualquiera que envuelva los mismos puntos, también estará atravesada por las mismas líneas vectoriales, o sea, por igual flujo.

Podemos, según eso, enunciar el siguiente teorema debido a Gauss: Todas las superficies que envuelven las mismas masas activas del campo vectorial están atravesadas por igual flujo, siendo este el emitido por las citadas masas.

TEOREMA DE STOKES

Sea una superficie S, cualquiera, apoyada en un contorno cerrado, c. Mediante un trazado de curvas auxiliares dividámoslo en áreas elementales.
Consideremos una cualquiera de estas áreas dS y el rotacional R del campo de un punto de dicho elemento superficial; podemos escribir:

    \( \displaystyle \oint_\varepsilon PĚdA = R_nĚdS \)
Siendo ε el contorno que limita dS.
Cálculo vectorial
Escribiendo para cada elemento superficial una igualdad análoga a la anterior y sumándolas todas ordenadamente, resulta en el primer miembro la integral curvilínea a lo largo de c, pues se anulan las integrales correspondientes a los contornos comunes a los elementos tales como dS, debido a que cada uno de ellos está recorrido dos veces en sentido contrario. La suma de los segundos miembros sería la integral de superficie:
    \( \displaystyle \int_S R_nĚdS \)
Por lo que resulta la fórmula:
    \( \displaystyle \oint_C PĚdA = \int_S R_nĚdS \)
Que se traduce en el siguiente teorema enunciado por primera vez por Stokes:

La circulación de un vector a lo largo de una curva cerrada, c, es igual al flujo del rotacional de dicho vector a través de una superficie cualquiera que tenga la citada curva por contorno.

FIN
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás