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ANÁLISIS NUMÉRICO

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ANÁLISIS NUMÉRICO

CÁLCULO VECTORIAL - FLUJO VECTORIAL

 
CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL (capítulo 3)

FLUJO VECTORIAL


La noción de flujo vectorial es de gran interés en ciencias tales como la hidrodinámica, óptica, magnetismo y electrostática.

El flujo unas veces es y otras no, una realidad física, pero su consideración es interesante en el estudio cuantitativo de diversos fenómenos físicos. Tratándose del movimiento de un fluido, por ejemplo, el flujo es una realidad física. Si se considera el campo magnético creado por un electroimán, al hablar del flujo magnético no podemos afirmar que exista realmente una circulación; sin embargo, su consideración es de gran interés teórico y práctico.
Pasamos a establecer la noción de flujo con carácter general. Consideremos una superficie S, limitada por un contorno c, en un campo vectorial. Sea dS un elemento de superficie y Pn la componente normal a dS de la sección del campo, P, en el punto A.

Cálcul vectorial
Por definición, el flujo que atraviesa dS es:
    \( d \phi = P_n·dS = P·\cos \theta ·dS \quad (1) \)
Si consideramos:
    \( \vec{n} = \hat{i}\alpha + \hat{j}\beta + \hat{k}\gamma \)
Un vector unitario situado sobre la seminormal exterior a la superficie, en A, siendo α , β , γ los cosenos directores de la seminormal, se tendrá:
    \( P_n = Pn = X\alpha + Y\beta + Z\gamma \)
Con lo que la fórmula (1) puede también escribirse como sigue:
    \( d \phi = P·n·dS = (X·\alpha + Y·\beta + Z·\gamma)dS \)
El flujo que atraviesa S será entonces:
    \( \displaystyle \phi \int_S P_ndS = \int_S PndS = \int_S (X\alpha + Y\beta + Z\gamma)dS \)
Integral de superficie del vector P extendida a la región S.

Tratándose de una superficie de dos caras, habrá que distinguir el flujo entrante del saliente. Para ello se mirará si Pn se dirige hacia el interior o hacia el exterior de la superficie; en el primer caso, el flujo es entrante y en el segundo caso saliente. Para hacer esta distinción en los cálculos, se considera la seminormal a la cara exterior o parte convexa y se toma como ángulo θ el que forma P con dicha seminormal. Si θ es agudo, el flujo será positivo o saliente, siendo negativo o entrante cuando θ sea obtuso.

Si la superficie S es normal a las líneas vectoriales del campo, el flujo que atraviesa dS es:
    \( \displaystyle d \phi = PdS \Rightarrow P =\frac{d \phi}{dS} \)
es decir, que la intensidad del campo, P, es el flujo que atraviesa la unidad de superficie normal a P. Como, por otra parte, el número de líneas vectoriales por unidad de superficie es igual a P, dicho número de líneas determina también el flujo que atraviesa la unidad de superficie. Consecuentemente la superficie S estará cortada por un número de líneas vectoriales que medirá el flujo que la atraviesa.

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Algunos campos vectoriales están originados por determinadas masas activas que son los centros emisores del flujo. Si un volumen, dV, de masa activa, situado en un punto A, emite el flujo , el cociente dΦ/dV que da el flujo emitido por unidad de volumen, por la masa activa dm situada en A, es lo que ha recibido el nombre de divergencia del vector P del campo en A, representándose como sigue:
    \( \displaystyle Div P = \frac{d \phi}{dV}\)
Si la divergencia es positiva, el punto emite flujo y si es negativa, el punto absorbe o recibe flujo.

De acuerdo con lo expuesto en el párrafo referente al flujo vectorial, puede también decirse que la divergencia de P en A es el número de líneas vectoriales que nacen en dicho punto, si es positiva. Si la divergencia fuera negativa, vendría representada por el número de líneas vectoriales que van a parar a dicho punto.

Los puntos de divergencia positiva reciben el nombre de fuentes o manantiales, llamándose sumideros los puntos de divergencia negativa.

Si la divergencia de un campo es nula en todos sus puntos, ninguna línea vectorial tiene origen ni fin, debiendo ser todas ellas cerradas. Se dice entonces que el campo es selenoidal.

Vamos ahora a determinar la expresión de la divergencia en un punto A de un campo en coordenadas cartesianas.

Sea un elemento de volumen dV = dx.dy.dz , situado en A.

Si la acción del campo en A es \(P = \hat{i}X + \hat{j}Y + \hat{k}Z\) , en A’ será:
    \( \displaystyle \left(X +\frac{\delta X}{\delta y}dy\right)\hat{i} + \left(Y +\frac{\delta Y}{\delta y}dy\right)\hat{j} + \left(Z +\frac{\delta Z}{\delta y}dy \right) \hat{k} \)
El fluido que penetra por la cara AB es –Y.dx.dz, y el que sale por A’B’ es:
    \( \displaystyle \left(Y +\frac{\delta Y}{\delta y}\right)dxdz \)
Luego, el flujo que habrá salido del elemento de volumen por ambas caras será:
    \( \displaystyle \left(Y +\frac{\delta Y}{\delta y}dy \right)dxdz - Y·dx·dz = \frac{\delta Y}{\delta y}dV \)
Razonando análogamente, se deduce que el flujo que sale de dV por las dos caras paralelas al plano Oxy y al plano Oyz, es respectivamente:
    \( \displaystyle \frac{\delta Z }{\delta z}dV \;y\; \frac{\delta X }{\delta x}dV \)
El flujo total que habrá salido de dV es la suma de los tres flujos anteriores
    \( \displaystyle d\phi = \left(\frac{\delta X }{\delta x} + \frac{\delta Y }{\delta y} + \frac{\delta Z }{\delta z}\right)dV \)
Luego la divergencia de P en A será:
    \( \displaystyle div P = \frac{d\phi}{dV} = \left(\frac{\delta X }{\delta x} + \frac{\delta Y }{\delta y} + \frac{\delta Z }{\delta z}\right) \)
Se deduce fácilmente que se verifica:
    \(div P = \nablaP\)
Cálculo vectorial
Si en el campo existe potencial, se verifica que \(P = -\nabla V\) y la expresión anterior toma la forma:
    \( \displaystyle div P = \nabla P = - \nabla^2 V = \left(\frac{\delta^2 }{\delta x} + \frac{\delta^2 }{\delta y} + \frac{\delta^2 }{\delta z}\right) = - \triangle V \)
Es decir:
    \( div\; P = - div \; grad\; V = - \triangle V \)
El operador:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \triangle = \nabla · \nabla = \left( \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta z}·\hat{k}\right) \left( \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta z}·\hat{k}\right) = \\
    \\
    = \left( \frac{\delta^2 }{\delta x^2} + \frac{\delta^2 }{\delta y^2} + \frac{\delta^2 }{\delta z^2}\right)
    \end{array} \)
Se llama operador de Laplace.
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás