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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
ANÁLISIS NUMÉRICO

CÁLCULO VECTORIAL - GRADIENTES

 
CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL (Capítulo 2)

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL GRADIENTE


Hemos visto que se cumple:

    \( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l} \)
Si consideramos el vector simbólico:
    \( \displaystyle \vec{\nabla} = \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta z}·\hat{k} \)
Denominado nabla, se puede escribir:
    \( \displaystyle \overrightarrow{grad}\; \phi=\left( \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta z}·\hat{k}\right)\phi = \vec{\nabla}\phi \)
El módulo de este vector es:
    \( \displaystyle P = |\vec{\nabla}\; \phi| = |\overrightarrow{grad}\; \phi| = \sqrt{\left( \frac{\delta \phi}{\delta x}\right)^2 + \left(\frac{\delta \phi}{\delta y}\right)^2 +\left( \frac{\delta \phi}{\delta z}\right)^2} \)
Y sus cosenos directores:
    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{\delta \phi/\delta x}{P} \; ; \; \cos \beta = \frac{\delta \phi/\delta y}{P} \; ; \; \cos \gamma = \frac{\delta \phi/\delta z}{P} \)
El vector simbólico ∇ es uno de los operadores del cálculo vectorial. No es realmente un vector, pero en ciertas operaciones y con las debidas precauciones puede tratarse como tal.

Si se tienen dos campos Ø y Ψ superpuestos, se cumple:
    \( \vec{\nabla}(\phi + \psi)= \vec{\nabla}(\phi) \psi + \vec{\nabla}(\psi)\phi \)
Se observa que los valores de los cosenos directores del vector gradiente son los de los cosenos directores de la normal a la superficie Ø(x,y,z); por lo tanto, el gradiente de Ø en un punto A(x,y,z) es un vector normal a la superficie Ø(x,y,z) que pasa por dicho punto.
Si realizamos el desplazamiento en una dirección perpendicular al gradiente, la variación de la función será:
    \( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l} = dl·Proy_{dl} grad \phi \)
Es decir, la variación de la función será cero, por ser nulo el valor de la proyección sobre el vector dl del vector grad Ø.

Cálculo vectorial
Por tanto, cuando se realiza un desplazamiento en una dirección perpendicular al gradiente, no hay variación de la función, lo que implica que en todos los puntos del plano perpendicular al gradiente no se experimenta variación.
Si realizamos el desplazamiento en una dirección paralela o en la misma dirección que grad Ø resulta que la variación de la función es máxima, puesto que la proyección del vector grad Ø sobre el vector dl es máxima. Por lo tanto, para un cierto valor de dl dado, se puede obtener en que dirección es máxima la variación de la función.

Si α es menor de 90º, la variación es positiva y el campo crece. Si α es mayor de 90º, la variación es negativa y el campo decrece.

El gradiente está dirigido siempre hacia valores crecientes de la función. Por lo tanto, el gradiente es un vector perpendicular a la superficie “iso”, de sentido hacia valores crecientes de la función y cuyo módulo ha quedado determinado según una fórmula ya determinada.

DERIVADAS DIRECCIONALES

Hemos visto que:

    \( \displaystyle d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l}
    = dl·Proy_{dl} grad \phi = \frac{d\phi}{dl}\)
Que expresa la derivada direccional de la función Ø.

La derivada direccional es el límite del incremento de la función en aquella dirección. En el caso de que la función dependiera de las tres componentes (x,y,z) la derivada direccional coincide con la derivada parcial:
    \( \displaystyle Proy_{dl} grad \phi = \frac{d\phi}{dl} = \frac{d\phi}{dx}·\hat{i} + \frac{d\phi}{dy}·\hat{j} + \frac{d\phi}{dz}·\hat{k} \)
Pero, en general, cuando no tienen una dirección determinada, es la derivada de la función partida por el desplazamiento en aquella dirección o, lo que es igual, la proyección del gradiente en la dirección del desplazamiento.

Se puede entonces definir el gradiente con independencia del sistema. Ejemplo.- supongamos que se cumple: E·dl = dØ donde Ø es una función. Sean las fuerzas gravitatorias (queda dl proyectado sobre el eje Z)
Cálculo vectorial
    \(\begin{array}{l}
    \vec{F}·dl = - mg·\hat{k}·dl =\\
    \\
    = - mg·dz = d(-mgz)
    \end{array} \)
Existen fuerzas que cumplen:
    \( \vec{F}·d\vec{l} = d\phi \)
Entonces se tiene:
    \( \left.
    \begin{array}{c}
    \overrightarrow{grad} \phi ·d\vec{l} = d \phi \\
    \\
    \vec{E}·d\vec{l} = d \phi \\
    \end{array}
    \right\}\quad \overrightarrow{grad} \phi = \vec{E} \)
Y de forma inversa:
    \( \overrightarrow{grad} \phi = \vec{E} \quad \left\{
    \begin{array}{c}
    \overrightarrow{grad} \phi ·d\vec{l} = d \phi \\
    \\
    \vec{E}·d\vec{l} = d \phi \\
    \end{array}
    \right. \)
En el ejemplo teníamos:
    \( \vec{F}·d\vec{l} = d \phi = d(-mgz) \)
Por lo tanto:
    \( \vec{F}= grad(-mgz) = - grad(mgz) \)
Donde mgz corresponde a la superficie donde g tiene un valor constante.

La dirección del vector F será perpendicular a la superficie “iso” y el sentido negativo por ser – grad(mgz) que se ha definido siempre en sentido positivo.
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás