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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
ANÁLISIS NUMÉRICO

CÁLCULO VECTORIAL - CAMPOS

 
CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL (capítulo 1)

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES


Se llama campo a una región del espacio en la que hay definida una cierta magnitud física tal que a cada punto del espacio le corresponde una parte de esa magnitud física. Si dicha magnitud es un vector, el campo es vectorial; si la magnitud es escalar, el campo se llama campo escalar.

Si el campo es sólo función del punto y no del instante, entonces se dice que el campo es estacionario. En física también se denomina estacionario a un campo que varía lentamente.

Los campos escalares se representan por superficies “iso”, es decir, aquellas sobre las cuales la magnitud tiene el mismo valor en todos los puntos. Estas magnitudes “iso” se representan o dibujan a intervalos constantes de la magnitud.

Los campos vectoriales se representan por líneas de campo. Las líneas de campo sn líneas tangentes en cada punto al vector que representa el campo. Por ejemplo, si el campo es el creado por el vector velocidad, las líneas son tangentes en cada punto al vector velocidad en ese punto.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Sea R una región, Ø una magnitud definida en esa región y Ø(x,y,z) el campo.

Se llama gradiente a un vector que tiene como componentes las derivadas parciales de la función respecto del eje X, respecto del eje Y y respecto del eje Z.

La derivada de una función nos indica la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Podemos escribir:

    \( \displaystyle y = f(x) ; y' = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle f(x)}{\triangle x} \)
Si tenemos una función definida en el espacio, es decir, que dependa de las tres variables espaciales, el vector gradiente tendrá como componentes:

    \( \displaystyle \frac{\delta \phi}{\delta x} = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\phi(x+\triangle x,y,z)- \phi(x,y,z)}{\triangle x} \)
Esta es la derivada parcial respecto a la variable x. En este caso, el desplazamiento sólo se considera a lo largo del eje x, quedando sin variar las variables y y z. También se denomina derivada parcial en la dirección de x. Las derivadas parciales respecto de las variables y y z tendrán una forma similar a la dada para la variable x, siendo el vector gradiente como sigue:

    \( \displaystyle \overrightarrow{grad \phi} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k} \)
Si un campo admite en cada punto las derivadas parciales de la función que define el campo respecto de los tres ejes coordenados, tendremos definido el vector gradiente en cada punto del espacio.

Resumiendo, en un campo escalar tenemos definido un vector, llamado gradiente, siempre que el campo admita en cada uno de sus puntos las derivadas parciales respecto de las variables x, y, z.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea y = f(x), se define la diferencial de una función como:

    \( \displaystyle dy = f'(x)·dx = f'(x)· \triangle x\; ; \; f'(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
Según las figuras tenemos:

    \( \displaystyle f'(x)dx = \frac{\sin x}{\cos x}(h\cos x) = dy = \) incremento de la funcin
Cálculo vectorialCálculo vectorial
Pero cuando Δx tiende a 0, en el límite se tiene: Δf = Δy y, por lo tanto, la diferencial representa el incremento de la función.

Si tenemos una función Ø de varias variables Ø(x,y,z), dØ será la derivada de cada una de as variables por dx, dy, dz, respectivamente. Pero estas derivadas son las derivadas parciales y se tiene:

    \( \displaystyle d \phi = \frac{\delta \phi}{\delta x}dx + \frac{\delta \phi}{\delta y}dy + \frac{\delta \phi}{\delta z}dz \)
Si se tiene:

    \( \delta \vec{\phi} = d\vec{l} = dx·\hat{i} + dy·\hat{j} +dz·\hat{k} \)
Donde \(dx·\hat{i}\) es la proyección del vector desplazamiento sobre el eje x e igualmente para las variables y y z (\(dl\) = desplazamiento).

Al poner la fórmula:
    \( \displaystyle d \phi = \frac{\delta \phi}{\delta x}dx + \frac{\delta \phi}{\delta y}dy + \frac{\delta \phi}{\delta z}dz \)
Se indica que la variable de la función será la variación que experimenta en un desplazamiento a lo largo del eje X, más la que experimenta en un desplazamiento a lo largo del eje Y e igualmente para el eje Z.

Se comprueba que:

    \( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l} \)
Demostración:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    d \phi =\left( \frac{\delta \phi}{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta \phi}{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta \phi}{\delta z}·\hat{k}\right) (dx·\hat{i} + dy·\hat{j} + dz·\hat{k}) = \\
    \\
    \frac{\delta \phi}{\delta x}·dx + \frac{\delta \phi}{\delta y}·dy + \frac{\delta \phi}{\delta z}·dz
    \end{array} \)
Puesto que se tiene:

    \( \hat{i}·\hat{i}= \hat{j}·\hat{j} = \hat{k}·\hat{k} = 1 \)
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás