CÁLCULO
DE VARIACIONES
CONCEPTOS TEÓRICOS
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
DEL CALCULO DE VARIACIONES
Distancia mínima entre
dos puntos de un plano.
Como
podemos ver en la figura adjunta, un elemento de longitud
ds de una línea cualquiera, independientemente
de su forma, está dado por:
Por lo tanto, la longitud, I, de una línea cualquiera
que va desde el punto 1 al punto 2, viene dada por: |
 |
Según lo visto en el apartado anterior, la condición
para que dicha curva corresponda a la trayectoria más corta
es que I sea mínimo. En este caso, la función f
toma la forma:
De donde resulta:
Y sustituyendo en la ecuación (8):
O lo que es igual:
De la anterior expresión podemos hacer:
De donde, integrando, tenemos:
Expresión que corresponde a la ecuación de una recta.
Las constantes de integración, a y b, quedan determinadas
si se considera que la curva ha de pasar por los puntos extremos
(x1, y1), (x2, y2).
Distancia mínima entre dos puntos de una superficie
a lo largo de dicha superficie. Este problema es
un caso típico de extremales ligadas. Si lo consideramos
en el espacio tridimensional, la ecuación de la superficie
es F(x, y, z) = 0.
Las
líneas de distancia máxima o mínima
(maximales) sobre una superficie se llaman geodésicas.
Por dos puntos de una superficie pueden pasar varias geodésicas
(la de valor máximo y la de valor mínimo).
Dado un arco de curva regular, la diferencial de dicho
arco se expresa, en coordenadas cartesianas rectangulares,
en la forma:
|
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Donde x, y, z son las coordenadas de un punto de la curva. Cuando
la curva viene expresada en función de un parámetro
t, podemos poner:
Y la diferencial de arco se expresa:
Según eso, la longitud del arco en el intervalo comprendido
entre los puntos 1 y 2 será:
Y si ponemos:
Tenemos la definición matemática de la distancia
entre dos puntos. Añadiendo a esta expresión la
condición de ligadura F(x, y, z) = 0, queda definida la
geodésica.
Haciendo:
Y desarrollando las ecuaciones de Euler, tenemos:
Pero como en este caso f no depende de x, y, z, resulta:
Por otro lado, como x, y, z no son independientes, se tiene:
Y multiplicando por l y dt, podemos
sumar este resultado a la ecuación anterior para obtener:
En esta expresión dx, dy,
dz no son independientes, por existir
la condición de ligadura F(x, y, z) = 0 y, de ahí
que sus coeficientes no sean, en principio, todos nulos. No obstante,
si ajustamos l de modo que se tenga:
Los desplazamientos virtuales dx y
dy si son independientes entre sí
y tenemos:
Las tres expresiones anteriores, junto con la condición
de ligadura F(x, y, z) = 0, nos dan un sistema de cuatro ecuaciones
con cuatro incógnitas (x, y, z, l)
que tiene solución única.
Recordando el valor de f dado la ecuación (10) tenemos:
Multiplicando estas ecuaciones por  ,
respectivamente, resulta:
De todas las curvas que se pueden trazar sobre una superficie,
las únicas que cumplen esta condición son las geodésicas.
FIN
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