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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS

ANÁLISIS NUMÉRICO- CÁLCULO DE VARIACIONES

 
CÁLCULO DE VARIACIONES

CONCEPTOS TEÓRICOS

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL CALCULO DE VARIACIONES

Distancia mínima entre dos puntos de un plano.

Como podemos ver en la figura adjunta,
elemento de longitud
un elemento de longitud ds de una línea cualquiera, independientemente de su forma, está dado por:
    \( \displaystyle ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)} \)
Por lo tanto, la longitud, \( l \), de una línea cualquiera que va desde el punto 1 al punto 2, viene dada por:
    \( \displaystyle I = \int_1^2 ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)} dx \qquad (9) \)
Según lo visto en el apartado anterior, la condición para que dicha curva corresponda a la trayectoria más corta es que I sea mínimo. En este caso, la función f toma la forma:
    \( f = \sqrt{1 + \dot{y}^2} \)
De donde resulta:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} =\frac{\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} \)
Y sustituyendo en la ecuación (8):
    \( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}}\right) = 0 \)
O lo que es igual:
    \( \displaystyle d\left(\frac{\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}}\right) = 0 \Rightarrow \frac{\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} = K \)
De la anterior expresión podemos hacer:
    \( \displaystyle \dot{y} = K^2(1 + \dot{y}^2) \Rightarrow \dot{y} = \frac{K}{\sqrt{1 + K^2}} = a \)
De donde, integrando, tenemos:
    \( \displaystyle \dot{y} = \frac{dy}{dx} = a \Rightarrow dy = a·dx \Rightarrow y = a·x + b \)
Expresión que corresponde a la ecuación de una recta.
Las constantes de integración, a y b, quedan determinadas si se considera que la curva ha de pasar por los puntos extremos (x1, y1), (x2, y2).

Distancia mínima entre dos puntos de una superficie a lo largo de dicha superficie. Este problema es un caso típico de extremales ligadas. Si lo consideramos en el espacio tridimensional, la ecuación de la superficie es F(x, y, z) = 0.

Las líneas de distancia máxima o mínima (maximales) sobre una superficie se llaman geodésicas. Por dos puntos de una superficie pueden pasar varias geodésicas (la de valor máximo y la de valor mínimo).

lineas geodésicas


Dado un arco de curva regular, la diferencial de dicho arco se expresa, en coordenadas cartesianas rectangulares, en la forma:
    \( ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2} \)
Donde x, y, z son las coordenadas de un punto de la curva. Cuando la curva viene expresada en función de un parámetro t, podemos poner:
    \( \displaystyle x = x(t) \; ; \;y = y(t) \; ; \;z = z(t) \; ; \;\dot{x} = \frac{dx}{dt}\; ; \;\dot{y} = \frac{dy}{dt} \; ; \;\dot{z} = \frac{dz}{dt} \)
Y la diferencial de arco se expresa:
    \( ds = \sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}dt \)
Según eso, la longitud del arco en el intervalo comprendido entre los puntos 1 y 2 será:
    \( \displaystyle s =\int_1^2 \sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}dt \)
Y si ponemos:
    \( \displaystyle \delta \int_1^2 ds = \delta \int_1^2 \sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}dt = 0 = \delta \int_1^2 f(x, \dot{x}, y, \dot{y},z, \dot{z}, t)dt \)
Tenemos la definición matemática de la distancia entre dos puntos. Añadiendo a esta expresión la condición de ligadura F(x, y, z) = 0, queda definida la geodésica.
Haciendo:
    \( f = \sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2} \qquad (10) \)
Y desarrollando las ecuaciones de Euler, tenemos:
    \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left\{\left[ \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} \right) \right]\delta x \left[\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \right]\delta y + \left[\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{z}} \right) \right]\delta z \right\}dt = 0 \)
Pero como en este caso f no depende de x, y, z, resulta:
    \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left\{ - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} \right) \delta x - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right)\delta y - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{z}} \right) \delta z \right\}dt = 0 \)
Por otro lado, como x, y, z no son independientes, se tiene:
    \( \displaystyle F(x,y,z) = 0 \Rightarrow \left(\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\right)·\delta x + \left(\frac{\partial F}{\partial \dot{y}}\right)·\delta y + \left(\frac{\partial F}{\partial \dot{z}}\right)·\delta z = 0 \)
Y multiplicando por λ y dt, podemos sumar este resultado a la ecuación anterior para obtener:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \int_{x_1}^{x_2} \left\{\left[\lambda\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} \right)\right] \delta x + \left[ \lambda\frac{\partial F}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right)\right]\delta y + \right.\\
    \\
    + \left. \left[ \lambda\frac{\partial F}{\partial z}- \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{z}} \right)\right] \delta z \right\}dt = 0
    \end{array}\)
En esta expresión Δx, Δy, Δz no son independientes, por existir la condición de ligadura F(x, y, z) = 0 y, de ahí que sus coeficientes no sean, en principio, todos nulos. No obstante, si ajustamos λ de modo que se tenga:
    \( \displaystyle\lambda\frac{\partial F}{\partial z}- \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{z}} \right) = 0 \)
Los desplazamientos virtuales Δx y Δy si son independientes entre sí y tenemos:
    \( \displaystyle \lambda\frac{\partial F}{\partial x}- \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} \right) = 0\quad ; \quad \lambda\frac{\partial F}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \)
Las tres expresiones anteriores, junto con la condición de ligadura F(x, y, z) = 0, nos dan un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (x, y, z, λ) que tiene solución única.
Recordando el valor de f dado la ecuación (10) tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d}{dt}\left[\sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}\right] = \lambda\frac{\partial F}{\partial x} \\  \\ \frac{d}{dt}\left[\sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}\right] = \lambda\frac{\partial F}{\partial x} \\  \\ \frac{d}{dt} \left[\sqrt{(\dot{x})^2 + (\dot{y})^2 + (\dot{z})^2}\right] = \lambda\frac{\partial F}{\partial x} \end{array} \)
Multiplicando estas ecuaciones por \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{j} \), respectivamente, resulta:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}}|}\right) = \lambda· \nabla F \)
De todas las curvas que se pueden trazar sobre una superficie, las únicas que cumplen esta condición son las geodésicas.

FIN

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tema escrito por: José Antonio Hervás