CÁLCULO DE VARIACIONES

Uno de los problemas característicos a los que dan solución las técnicas propias del cálculo de variaciones es el de hallar la curva que hace extremal una integral curvilínea dada.

En esta monografía vamos a considerar el problema en forma unidimensional, es decir, determinaremos la curva y = f(x) entre los valores x₁ y x₂ tal que la integral curvilínea de cierta función f(y , , x), donde = dy/dx, sea extremal, es decir, que la integral:



Ha de ser máxima o mínima. En este caso la variable x desempeña el papel del parámetro t.

Vamos a plantear el problema de forma que nos permita emplear los métodos ordinarios del cálculo diferencial para obtener valores extremos. Para ello, hacemos corresponder a cada una de las posibles curvas y(x) un valor diferente de determinado parámetro α, de modo que para ciertos valores de α la curva coincida con la trayectoria o trayectorias que extreman la integral. Por lo tanto, y será función de x y α. De ese modo, si representamos la función y(x , a) por:



Donde η(x) es una función cualquiera de x que se anula para x = x₁ y x = x₂. También la integral J de (1) será función de α:



La condición para obtener un máximo o un mínimo de J como función de α será la misma que se necesita en el cálculo diferencial, es decir:



Derivando (3) bajo el signo integral, tenemos:



Si tomamos la segunda de las integrales podemos hacer:



E integrando por partes, tenemos:



Puesto que partimos de la expresión:



Donde se considera d/dx por ser f función sólo de x.

Todas las curvas que estamos considerando han de cumplir la condición de pasar por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) y, por tanto, ∂y/∂α se anulará en x₁ y x₂. Por ello se hace cero el primer término de (5) y la derivada parcial de J respecto α se puede poner:



Multiplicando todos los términos por dα y singularizando para a = 0, resulta:



Si ponemos ahora:



Donde son, respectivamente, la variación de J, y e , la ecuación anterior queda en la forma:



En esta expresión, Δy representa cierta variación arbitraria de y(x), obtenida por variación del parámetro α en un entorno del punto 0. Es lo que se define como desplazamiento virtual.

Como δy es arbitraria, podemos decir que para que la expresión anterior sea nula ha de hacerse 0 el término entre corchetes, es decir:



Vemos entonces que J sólo es extremal para las curvas y(x) tales que f satisfaga la ecuación diferencial anterior, que tiene una forma semejante a la de las ecuaciones de Lagrange y se conocen con ecuaciones de Euler.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL CALCULO DE VARIACIONES