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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS

ANÁLISIS NUMÉRICO- CÁLCULO DE VARIACIONES

 
APUNTES SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES

Uno de los problemas característicos a los que dan solución las técnicas propias del cálculo de variaciones es el de hallar la curva que hace extremal una integral curvilínea dada.

En esta monografía vamos a considerar el problema en forma unidimensional, es decir, determinaremos la curva y = f(x) entre los valores x1 y x2 tal que la integral curvilínea de cierta función \( f(y ,\dot{y} , x) \), donde \( \dot{y} \)= dy/dx, sea extremal, es decir, que la integral:

    \( \displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} f(y, \dot{y}, x )dx \qquad (1)\)
Ha de ser máxima o mínima. En este caso la variable x desempeña el papel del parámetro t.

Vamos a plantear el problema de forma que nos permita emplear los métodos ordinarios del cálculo diferencial para obtener valores extremos. Para ello, hacemos corresponder a cada una de las posibles curvas y(x) un valor diferente de determinado parámetro α, de modo que para ciertos valores de α la curva coincida con la trayectoria o trayectorias que extreman la integral. Por lo tanto, y será función de x y α. De ese modo, si representamos la función y(x , a) por:
    \( y(x,\alpha ) = y(x,0) + \alpha ·\eta (x) \qquad (2)\)
Donde η(x) es una función cualquiera de x que se anula para x = x1 y x = x2. También la integral J de (1) será función de α:
    \( \displaystyle J(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2} f[y(x, \alpha), \dot{y}(x, \alpha), x ]dx\qquad (3) \)
La condición para obtener un máximo o un mínimo de J como función de α será la misma que se necesita en el cálculo diferencial, es decir:
    \( \displaystyle \frac{\partial J}{\partial \alpha} = 0 \textrm{ para }\alpha = 0 \qquad (4) \)
Derivando (3) bajo el signo integral, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} \right]dx = \\ \\ = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx + \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} dx \end{array} \)
Si tomamos la segunda de las integrales podemos hacer:
    \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} dx = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial x \alpha} dx \)
E integrando por partes, tenemos:
    \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial x \alpha} dx = \left[ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} \right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\frac{\partial y}{\partial \alpha} dx\qquad (5) \)
Puesto que partimos de la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}·\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha}\right) = \frac{d }{d x}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) \frac{\partial y}{\partial \alpha}+ \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}· \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial \alpha} \)
Donde se considera d/dx por ser f función sólo de x.

Todas las curvas que estamos considerando han de cumplir la condición de pasar por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) y, por tanto,\( \partial y / \partial \alpha \) se anulará en x1 y x2. Por ello se hace cero el primer término de (5) y la derivada parcial de J respecto \( \alpha \) se puede poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{ \alpha} dx - \int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{d x }\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\frac{\partial \dot{y}}{ \alpha} dx = \\
    \\
    = \int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right]· \frac{\partial y}{\partial \alpha}dx \qquad (6)
    \end{array} \)
Multiplicando todos los términos por dα y singularizando para a = 0, resulta:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial J}{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right]· \frac{\partial y}{\partial \alpha}dx·d \alpha \qquad (7) \)
Si ponemos ahora:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial J}{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta J \quad ; \quad \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta y \quad ; \quad \left(\frac{\partial \dot{y} }{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta \dot{y} \)
Donde \( \delta J\, , \, \delta y \, , \,\delta \dot{y} \) son, respectivamente, la variación de ,\( J\, , \, y \; e \; \dot{y} \) la ecuación anterior queda en la forma:
    \( \displaystyle \delta J = \int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) \right]\delta y dx = 0 \)
En esta expresión, \( \delta y \equiv \triangle y \) representa cierta variación arbitraria de y(x), obtenida por variación del parámetro α en un entorno del punto 0. Es lo que se define como desplazamiento virtual.

Como \( \delta y \) es arbitraria, podemos decir que para que la expresión anterior sea nula ha de hacerse 0 el término entre corchetes, es decir:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \qquad (8) \)
Vemos entonces que J sólo es extremal para las curvas y(x) tales que f satisfaga la ecuación diferencial anterior, que tiene una forma semejante a la de las ecuaciones de Lagrange y se conocen con ecuaciones de Euler.

EJEMPLOS RESUELTOS DEL CALCULO DE VARIACIONES
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás