Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

ALGUNAS NOTAS SOBRE PRIMOS

PROPIEDAD DE ALGUNAS SUCESIONES

En otro de nuestros artículos, demostramos un teorema cuyo enunciado dice lo siguiente:

TEOREMA

Sea p un número primo no divisor de \( (a\pm b) \) y sea mcd(a,b) = 1; entonces los factores primos de \( (a^p \pm b^p) \) que no estén contenidos en \( (a\pm b) \) , sólo pueden ser de la forma

    \( 2mp + 1\qquad (*)\)

Este teorema lo tenemos demostrado en el trabajo CARACTERIZACION DE LOS FACTORES DE LA SUMA DE DOS NUMEROS ENTEROS ELEVADOS A UNA MISMA POTENCIA (vease)

Con estos prolegómenos, vamos estudiar el comportamiento de expresiones como \((a^p + b^p)\) escribiendo:

    \(n^p \pm 1\qquad (1)\)

Comenzamos con

    \( \displaystyle \frac{n^3 -1}{n-1} \quad (2) \)
Donde dividimos por el término (n-1) para dejar solo los factores que afectan a este estudio.

Dando a n valores naturales, tenemos:


Primo/Compuesto Número
Resultado

    P
    P
    C
    P
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    P
    C
    P
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    P
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    P
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    C
    P
    C
    C
    C
    C
    P

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500

    7 = 7
    13 = 13
    21 = 3 · 7
    31 = 31
    43 = 43
    57 = 3 · 19
    73 = 73
    91 = 7 · 13
    111 = 3 · 37
    133 = 7 · 19
    157 = 157
    183 = 3 · 61
    211 = 211
    241 = 241
    273 = 3 · 7 · 13
    307 = 307
    (7)^3 = (7)^3
    381 = 3 · 127
    421 = 421
    463 = 463
    507 = 3 · 13^2
    553 = 7 · 79
    601 = 601
    651 = 3 · 7 · 31
    703 = 19 · 37
    757 = 757
    813 = 3 · 271
    871 = 13 · 67
    931 = 7^2 · 19
    993 = 3 · 331
    1057 = 7 · 151
    1123 = 1123
    1191 = 3 · 397
    1261 = 13 · 97
    1333 = 31 · 43
    1407 = 3 · 7 · 67
    1483 = 1483
    1561 = 7 · 223
    1641 = 3 · 547
    1723 = 1723
    1807 = 13 · 139
    1893 = 3 · 631
    1981 = 7 · 283
    2071 = 19 · 109
    2163 = 3 · 7 · 103
    2257 = 37 · 61
    2353 = 13 · 181
    2451 = 3 · 19 · 43
    2551 = 2551
    2653 = 7 · 379
    2757 = 3 · 919
    2863 = 7 · 409
    2971 = 2971
    3081 = 3 · 13 · 79
    3193 = 31 · 103
    3307 = 3307
    3423 = 3 · 7 · 163
    3541 = 3541
    3661 = 7 · 523
    3783 = 3 · 13 · 97
    3907 = 3907
    4033 = 37 · 109
    4161 = 3 · 19 · 73
    4291 = 7 · 613
    4423 = 4423
    4557 = 3 · 7^2 · 31
    4693 = 13 · 19^2
    4831 = 4831
    4971 = 3 · 1657
    5113 = 5113
    5257 = 7 · 751
    5403 = 3 · 1801
    5551 = 7 · 13 · 61
    5701 = 5701
    5853 = 3 · 1951
    6007 = 6007
    6163 = 6163
    6321 = 3 · 7^2 · 43
    6481 = 6481
    6643 = 7 · 13 · 73
    6807 = 3 · 2269
    6973 = 19 · 367
    7141 = 37 · 193
    7311 = 3 · 2437
    7483 = 7 · 1069
    7657 = 13 · 19 · 31
    7833 = 3 · 7 · 373
    8011 = 8011
    8191 = 8191
    8373 = 3 · 2791
    8557 = 43 · 199
    8743 = 7 · 1249
    8931 = 3 · 13 · 229
    9121 = 7 · 1303
    9313 = 67 · 139
    9507 = 3 · 3169
    9703 = 31 · 313
    9901 = 9901
    10101 = 3 · 7 · 13 · 37
    10303 = 10303
    10507 = 7 · 19 · 79
    10713 = 3 · 3571
    10921 = 67 · 163
    11131 = 11131
    11343 = 3 · 19 · 199
    11557 = 7 · 13 · 127
    11773 = 61 · 193
    11991 = 3 · 7 · 571
    12211 = 12211
    12433 = 12433
    12657 = 3 · 4219
    12883 = 13 · 991
    13111 = 7 · 1873
    13341 = 3 · 4447
    13573 = 7^2 · 277
    13807 = 13807
    14043 = 3 · 31 · 151
    14281 = 14281
    14521 = 13 · 1117
    14763 = 3 · 7 · 19 · 37
    15007 = 43 · 349
    15253 = 7 · 2179
    15501 = 3 · 5167
    15751 = 19 · 829
    16003 = 13 · 1231
    16257 = 3 · 5419
    16513 = 7^2 · 337
    16771 = 31 · 541
    17031 = 3 · 7 · 811
    17293 = 17293
    17557 = 97 · 181
    17823 = 3 · 13 · 457
    18091 = 79 · 229
    18361 = 7 · 43 · 61
    18633 = 3 · 6211
    18907 = 7 · 37 · 73
    19183 = 19183
    19461 = 3 · 13 · 499
    19741 = 19 · 1039
    20023 = 20023
    20307 = 3 · 7 · 967
    20593 = 20593
    20881 = 7 · 19 · 157
    21171 = 3 · 7057
    21463 = 13^2 · 127
    21757 = 21757
    22053 = 3 · 7351
    22351 = 7 · 31 · 103
    22651 = 22651
    22953 = 3 · 7 · 1093
    23257 = 13 · 1789
    23563 = 23563
    23871 = 3 · 73 · 109
    24181 = 24181
    24493 = 7 · 3499
    24807 = 3 · 8269
    25123 = 7 · 37 · 97
    25441 = 13 · 19 · 103
    25761 = 3 · 31 · 277
    26083 = 26083
    26407 = 26407
    26733 = 3 · 7 · 19 · 67
    27061 = 27061
    27391 = 7^2 · 13 · 43
    27723 = 3 · 9241
    28057 = 28057
    28393 = 28393
    28731 = 3 · 61 · 157
    29071 = 7 · 4153
    29413 = 67 · 439
    29757 = 3 · 7 · 13 · 109
    30103 = 30103
    30451 = 37 · 823
    30801 = 3 · 10267
    31153 = 31153
    31507 = 7^2 · 643
    31863 = 3 · 13 · 19 · 43
    32221 = 7 · 4603
    32581 = 31 · 1051
    32943 = 3 · 79 · 139
    33307 = 19 · 1753
    33673 = 151 · 223
    34041 = 3 · 7 · 1621
    34411 = 13 · 2647
    34783 = 7 · 4969
    35157 = 3 · 11719
    35533 = 35533
    35911 = 35911
    36291 = 3 · 12097
    36673 = 7 · 13^2 · 31
    37057 = 37057
    37443 = 3 · 7 · 1783
    37831 = 37831
    38221 = 37 · 1033
    38613 = 3 · 61 · 211
    39007 = 19 · 2053
    39403 = 7 · 13 · 433
    39801 = 3 · 13267
    40201 = 7 · 5743
    40603 = 19 · 2137
    41007 = 3 · 13669
    41413 = 41413
    41821 = 13 · 3217
    42231 = 3 · 7 · 2011
    42643 = 42643
    43057 = 7 · 6151
    43473 = 3 · 43 · 337
    43891 = 43891
    44311 = 73 · 607
    44733 = 3 · 13 · 31 · 37
    45157 = 7 · 6451
    45583 = 79 · 577
    46011 = 3 · 7^2 · 313
    46441 = 46441
    46873 = 19 · 2467
    47307 = 3 · 13 · 1213
    47743 = 47743
    48181 = 7 · 6883
    48621 = 3 · 19 · 853
    49063 = 7 · 43 · 163
    49507 = 31 · 1597
    49953 = 3 · 16651
    50401 = 13 · 3877
    50851 = 211 · 241
    51303 = 3 · 7^2 · 349
    51757 = 73 · 709
    52213 = 7 · 7459
    52671 = 3 · 97 · 181
    53131 = 13 · 61 · 67
    53593 = 53593
    54057 = 3 · 37 · 487
    54523 = 7 · 7789
    54991 = 127 · 433
    55461 = 3 · 7 · 19 · 139
    55933 = 55933
    56407 = 13 · 4339
    56883 = 3 · 67 · 283
    57361 = 19 · 3019
    57841 = 7 · 8263
    58323 = 3 · 19441
    58807 = 7 · 31 · 271
    59293 = 13 · 4561
    59781 = 3 · 19927
    60271 = 60271
    60763 = 60763
    61257 = 3 · 7 · 2917
    61753 = 37 · 1669
    62251 = 7 · 8893
    62751 = 3 · 13 · 1609
    63253 = 43 · 1471
    63757 = 103 · 619
    64263 = 3 · 31 · 691
    64771 = 7 · 19 · 487
    65281 = 97 · 673
    65793 = 3 · 7 · 13 · 241
    66307 = 61 · 1087
    66823 = 19 · 3517
    67341 = 3 · 22447
    67861 = 79 · 859
    68383 = 7 · 9769
    68907 = 3 · 103 · 223
    69433 = 7^2 · 13 · 109
    69961 = 43 · 1627
    70491 = 3 · 23497
    71023 = 71023
    71557 = 163 · 439
    72093 = 3 · 7 · 3433
    72631 = 13 · 37 · 151
    73171 = 7 · 10453
    73713 = 3 · 24571
    74257 = 74257
    74803 = 19 · 31 · 127
    75351 = 3 · 25117
    75901 = 7^2 · 1549
    76453 = 13 · 5881
    77007 = 3 · 7 · 19 · 193
    77563 = 77563
    78121 = 78121
    78681 = 3 · 26227
    79243 = 109 · 727
    79807 = 7 · 13 · 877
    80373 = 3 · 73 · 367
    80941 = 7 · 31 · 373
    81511 = 37 · 2203
    82083 = 3 · 27361
    82657 = 82657
    83233 = 83233
    83811 = 3 · 7 · 13 · 307
    84391 = 84391
    84973 = 7 · 61 · 199
    85557 = 3 · 19^2 · 79
    86143 = 86143
    86731 = 43 · 2017
    87321 = 3 · 13 · 2239
    87913 = 7 · 19 · 661
    88507 = 67 · 1321
    89103 = 3 · 7 · 4243
    89701 = 271 · 331
    90301 = 73 · 1237
    90903 = 3 · 157 · 193
    91507 = 13 · 7039
    92113 = 7 · 13159
    92721 = 3 · 31 · 997
    93331 = 7 · 67 · 199
    93943 = 37 · 2539
    94557 = 3 · 43 · 733
    95173 = 13 · 7321
    95791 = 95791
    96411 = 3 · 7 · 4591
    97033 = 19 · 5107
    97657 = 7^2 · 1993
    98283 = 3 · 181^2
    98911 = 98911
    99541 = 13^2 · 19 · 31
    100173 = 3 · 33391
    100807 = 7 · 14401
    101443 = 61 · 1663
    102081 = 3 · 7 · 4861
    102721 = 139 · 739
    103363 = 13 · 7951
    104007 = 3 · 37 · 937
    104653 = 229 · 457
    105301 = 7^3 · 307
    105951 = 3 · 35317
    106603 = 7 · 97 · 157
    107257 = 283 · 379
    107913 = 3 · 13 · 2767
    108571 = 108571
    109231 = 19 · 5749
    109893 = 3 · 7 · 5233
    110557 = 110557
    111223 = 7 · 15889
    111891 = 3 · 13 · 19 · 151
    112561 = 31 · 3631
    113233 = 113233
    113907 = 3 · 43 · 883
    114583 = 7 · 16369
    115261 = 79 · 1459
    115941 = 3 · 7 · 5521
    116623 = 13 · 8971
    117307 = 117307
    117993 = 3 · 37 · 1063
    118681 = 118681
    119371 = 7 · 17053
    120063 = 3 · 31 · 1291
    120757 = 7 · 13 · 1327
    121453 = 121453
    122151 = 3 · 19 · 2143
    122851 = 43 · 2857
    123553 = 123553
    124257 = 3 · 7 · 61 · 97
    124963 = 19 · 6577
    125671 = 7 · 13 · 1381
    126381 = 3 · 103 · 409
    127093 = 73 · 1741
    127807 = 127807
    128523 = 3 · 42841
    129241 = 7 · 37 · 499
    129961 = 13^2 · 769
    130683 = 3 · 7^3 · 127
    131407 = 331 · 397
    132133 = 229 · 577
    132861 = 3 · 67 · 661
    133591 = 103 · 1297
    134323 = 7 · 31 · 619
    135057 = 3 · 13 · 3463
    135793 = 7 · 19 · 1021
    136531 = 136531
    137271 = 3 · 45757
    138013 = 79 · 1747
    138757 = 19 · 67 · 109
    139503 = 3 · 7^2 · 13 · 73
    140251 = 139 · 1009
    141001 = 7 · 20143
    141753 = 3 · 47251
    142507 = 31 · 4597
    143263 = 143263
    144021 = 3 · 61 · 787
    144781 = 7 · 13 · 37 · 43
    145543 = 145543
    146307 = 3 · 7 · 6967
    147073 = 147073
    147841 = 163 · 907
    148611 = 3 · 49537
    149383 = 13 · 11491
    150157 = 7 · 19 · 1129
    150933 = 3 · 50311
    151711 = 7 · 21673
    152491 = 109 · 1399
    153273 = 3 · 19 · 2689
    154057 = 154057
    154843 = 13 · 43 · 277
    155631 = 3 · 7 · 7411
    156421 = 156421
    157213 = 7 · 37 · 607
    158007 = 3 · 31 · 1699
    158803 = 158803
    159601 = 13 · 12277
    160401 = 3 · 127 · 421
    161203 = 7 · 23029
    162007 = 162007
    162813 = 3 · 7 · 7753
    163621 = 163621
    164431 = 164431
    165243 = 3 · 13 · 19 · 223
    166057 = 211 · 787
    166873 = 7 · 31 · 769
    167691 = 3 · 55897
    168511 = 7^2 · 19 · 181
    169333 = 313 · 541
    170157 = 3 · 13 · 4363
    170983 = 61 · 2803
    171811 = 171811
    172641 = 3 · 7 · 8221
    173473 = 173473
    174307 = 7 · 37 · 673
    175143 = 3 · 79 · 739
    175981 = 13 · 13537
    176821 = 151 · 1171
    177663 = 3 · 59221
    178507 = 7^2 · 3643
    179353 = 43^2 · 97
    180201 = 3 · 7 · 8581
    181051 = 13 · 19 · 733
    181903 = 181903
    182757 = 3 · 60919
    183613 = 31 · 5923
    184471 = 7 · 19^2 · 73
    185331 = 3 · 163 · 379
    186193 = 7 · 67 · 397
    187057 = 13 · 14389
    187923 = 3 · 37 · 1693
    188791 = 188791
    189661 = 189661
    190533 = 3 · 7 · 43 · 211
    191407 = 277 · 691
    192283 = 7 · 13 · 2113
    193161 = 3 · 31^2 · 67
    194041 = 61 · 3181
    194923 = 421 · 463
    195807 = 3 · 65269
    196693 = 7 · 28099
    197581 = 19 · 10399
    198471 = 3 · 7 · 13 · 727
    199363 = 73 · 2731
    200257 = 200257
    201153 = 3 · 19 · 3529
    202051 = 97 · 2083
    202951 = 7 · 79 · 367
    203853 = 3 · 13 · 5227
    204757 = 7 · 29251
    205663 = 205663
    206571 = 3 · 37 · 1861
    207481 = 207481
    208393 = 208393
    209307 = 3 · 7 · 9967
    210223 = 13 · 103 · 157
    211141 = 7^2 · 31 · 139
    212061 = 3 · 70687
    212983 = 373 · 571
    213907 = 409 · 523
    214833 = 3 · 19 · 3769
    215761 = 7 · 13 · 2371
    216691 = 337 · 643
    217623 = 3 · 7 · 43 · 241
    218557 = 19 · 11503
    219493 = 103 · 2131
    220431 = 3 · 73477
    221371 = 31 · 37 · 193
    222313 = 7^2 · 13 · 349
    223257 = 3 · 74419
    224203 = 7 · 32029
    225151 = 61 · 3691
    226101 = 3 · 75367
    227053 = 227053
    228007 = 13 · 17539
    228963 = 3 · 7 · 10903
    229921 = 43 · 5347
    230881 = 7 · 32983
    231843 = 3 · 109 · 709
    232807 = 19 · 12253
    233773 = 157 · 1489
    234741 = 3 · 13^2 · 463
    235711 = 7 · 151 · 223
    236683 = 19 · 12457
    237657 = 3 · 7 · 11317
    238633 = 127 · 1879
    239611 = 239611
    240591 = 3 · 13 · 31 · 199
    241573 = 37 · 6529
    242557 = 7 · 34651
    243543 = 3 · 81181
    244531 = 7 · 181 · 193
    245521 = 245521
    246513 = 3 · 82171
    247507 = 13 · 79 · 241
    248503 = 67 · 3709
    249501 = 3 · 7 · 109^2
    250501 = 250501

Tomamos los primos de la forma \(2·3·r+1\) que son menores de 100 (por poner un límite):
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97
Y vamos a estudiar con qué frecuencia aparecen en el listado anterior. Tenemos:
7, aparece en las posiciones 2 y 4 y se tiene 2 + 4 = 6 = 7-1
13, aparece en las posiciones 3 y 9 y se tiene 3 + 9 = 12= 13 - 1
19, aparece en las posiciones 7 y 11 y se tiene 7+ 11 = 18 = 19 - 1
31, aparece en las posiciones 5 y 25 y se tiene 5 + 25 = 30 = 31 - 1
37, aparece en las posiciones 10 y 26 y se tiene 10 + 26 = 36 = 37 - 1
43, aparece en las posiciones 6 y 36 y se tiene 6 + 36 = 42 = 43 - 1
61, aparece en las posiciones 13 y 47 y se tiene 13 + 47 = 60 = 61 - 1
67, aparece en las posiciones 29 y 37 y se tiene 29 + 37 = 66 = 67 - 1
73, aparece en las posiciones 8 y 64 y se tiene 8 + 64 = 72 = 73 - 1
79, aparece en las posiciones 23 y 55 y se tiene 23 + 55 = 78 = 79 - 1
97, aparece en las posiciones 35 y 61 y se tiene 35 + 61 = 96 = 97 – 1
Conociendo esto, las posiciones del factor 7, y de modo semejante, todos los demás, son:

    \( \displaystyle 2 + 7*r\qquad y \qquad 4 + 7*r\)

Observamos que para todos números se cumple que están en 2 posiciones y que la suma de esas dos posiciones es igual (p-1), siendo p el número en cuestión.
Planteamos aquí la siguiente hipótesis:
Siendo q un número primo de la forma (*) en cualquier sucesión formada a partir de la expresión:
    \( \displaystyle a^3 + b^3 \)
Encontraremos al factor q 2 veces en las posiciones k y [(q-1) – k]
Veamos ahora a estudiar con qué frecuencia aparecen en el listado siguiente,
    \( \displaystyle \frac{n^3+(n-1)^3}{2*n-1} \)
Tenemos:
7, aparece en las posiciones 3 y 5 y se tiene 3 + 5 = 8 = 7+1
13, aparece en las posiciones 4 y 10 y se tiene 4 + 10 = 14= 13 + 1
19, aparece en las posiciones 8 y 12 y se tiene 8+ 12 = 20 = 19 + 1
31, aparece en las posiciones 6 y 26 y se tiene 6 + 26 = 32 = 31 + 1
37, aparece en las posiciones 11 y 27 y se tiene 11 + 27 = 38 = 37 + 1
43, aparece en las posiciones 7 y 37 y se tiene 7 + 37 = 44 = 43 + 1
61, aparece en las posiciones 14 y 48 y se tiene 14 + 48 = 62 = 61 + 1
67, aparece en las posiciones 30 y 38 y se tiene 30 + 38 = 68 = 67 + 1
73, aparece en las posiciones 9 y 65 y se tiene 9 + 65 = 74 = 73 +1
79, aparece en las posiciones 24 y 56 y se tiene 24 + 56 = 80 = 79 + 1
97, aparece en las posiciones 36 y 62 y se tiene 36 + 62 = 98 = 97 + 1
Veamos, en fin, a estudiar con qué frecuencia aparecen en el listado siguiente,
    \( \displaystyle \frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{2*n} \)

Tenemos:
7, aparece en las posiciones 2 y 5 y se tiene 2 + 5 = 7
13, aparece en las posiciones 6 y 7 y se tiene 6 + 7 = 13
19, aparece en las posiciones 4 y 15 y se tiene 4 + 15 = 19
31, aparece en las posiciones 11 y 20 y se tiene 11 + 20 = 31
37, aparece en las posiciones 16 y 21 y se tiene 16 + 21 = 37
43, aparece en las posiciones 13 y 30 y se tiene 13 + 30 = 43
61, aparece en las posiciones 27 y 34 y se tiene 27 + 34 = 61
67, aparece en las posiciones 8 y 59 y se tiene 8 + 59 = 67
73, aparece en las posiciones 17 y 56 y se tiene 17 + 56 = 73
79, aparece en las posiciones 32 y 47 y se tiene 32 + 47 = 79
97, aparece en las posiciones 26 y 71 y se tiene 26 + 71 = 97
Tomamos los primos de la forma 2·r·5+1 que son menores de 100 (por seguir la tradición):
11, 31, 41, 61, 71
Y vamos a estudiar con qué frecuencia aparecen en las expresiones anteriores.

    \( \displaystyle \frac{n^5 -1}{(n-1)}\quad ;\quad \frac{n^5+(n-1)^5}{2*n-1}\quad ; \quad \frac{(n+1)^5 + (n-1)^5}{2*n} \)
Tenemos, para el primero:
11 aparece en las posiciones 3, 4, 5, 9
31 aparece en las posiciones 2, 4, 8, 16
41 aparece en las posiciones 10, 16, 18, 37
61 aparece en las posiciones 9, 20, 34, 58
71 aparece en las posiciones 5, 25, 54, 57
Tenemos, para el segundo:
11 aparece en las posiciones 2, 3, 9, 10
31 aparece en las posiciones 7, 11, 21, 25
41 aparece en las posiciones 13, 15, 27, 29
61 aparece en las posiciones 7, 30, 32, 55
71 aparece en las posiciones 12, 31, 41, 60
Y tenemos, para el tercero:
11 aparece en las posiciones 3, 5, 6, 8
31 aparece en las posiciones 10, 13, 18, 21
41 aparece en las posiciones 12, 16, 25, 29
61 aparece en las posiciones 2, 13, 48, 59
71 aparece en las posiciones 10, 23, 48, 61
Probemos ahora la expresión:
    \( \displaystyle \frac{(n+1)^p + (n-1)^p}{2*n} \)

Con los primos de Germain 23 y 29. Tenemos, por tanto que 47 y 59 y aplicando sobre los naturales, resulta para el primer grupo:
4, 6, 9, 10, 11, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 36, 37, 38, 41, 43
Y se tiene:
4 + 43 = 47… 23 + 24 = 47
Y para el segundo:
3, 5, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 22, 23, 24, 25, 29, 30, 34, 35, 36, 37, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 54, 56
Y se tiene:
3 + 56 = 59… 29 + 30 = 59
Podemos plantear aquí, la siguiente hipótesis: Siendo p un primo de Germain, se cumple que:

    \( \displaystyle \frac{(n+1)^p + (n-1)^p}{2*n} \)
Es múltiplo de p y de 2*p+1
Probamos ahora con la expresión:
    \( \displaystyle \frac{(n+1)^{13} + (n-1)^{13}}{2*n} \)
Los 4 primeros primos de la forma 2·r·13+1 son 53, 79, 131 y 157.
Dando valores a n, podemos ver que se tiene:

El primo 53 se encuentra en las posiciones 4, 12, 16, 19, 20, 21 y 32, 33 34, 37, 41, 49.
El primo 79 se encuentra en las posiciones 5, 6, 8, 11, 30 y 44, 49, 68, 71, 73, 74.
El primo 131 se encuentra en las posiciones 16, 22, 28, 46, 56, 58 y 73, 75, 85, 103, 109, 115.
El primo 157 se encuentra en las posiciones 11, 21, 41, 54, 61, 73 y 84, 96, 103, 116, 136, 146.
Pero si ponemos:

    \( \displaystyle \frac{(n+s)^{13} + (n-s)^{13}}{2*n} \)
Donde s= 53, 79, 131, 157, resulta que ya no se cumple lo dicho en los párrafos anteriores, pues, por ejemplo, para 53, tenemos:
    \( \displaystyle \frac{(n+s)^{13} + (n-s)^{13}}{2*n} = \frac{(53+53)^{13}}{2*53}= (2·53)^{12} \)

Y para los demás un resultado semejante.

Como resultado final de este trabajo podemos enunciar el siguiente teorema sin demostrar:

TEOREMA

Sea \( f(n) \):

    \( \displaystyle f(n) = \frac{n^p -1}{n-1} \)
El término n-ésimo de una sucesión , y sea \( q \) un factor primo extraido de dicha expresión, entonces \( q \) divide exactamente a \( (p-1) \) términos de dicha sucesión entre 1 y \( q \)
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre números especiales?¡Recomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás