CONSTRUCCIÓN
DE SUDOKUS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS
La resolucion de los famosos crucigramas numéricos
conocidos con el nombre de sudokus es una afición que seduce
cada dia a miles de lectores de todo tipo de periódicos,
revistas y demás prensa escrita o sitios de entretenimiento.
Desde que he sabido de la existencia de este tipo de acertijos
o rompecabezas numéricos me he sentido atraido por los
fundamentos matemáticos de su construcción.
Es fácil ver, cuando se han resuelto algunos de ellos,
que un sudoku es simplemente un cuadrado latino. Los cuadrados
latinos son viejos conocidos de los matemáticos aficionados
y profesionales ya que, además de para los sudokus son
también fundamentales en la obtención de cuadrados
mágicos de cualquier orden y en la construcción
de tablas para el diseño de experimentos.
Desde que los estudiara Leonhard Euler allá por el siglo
XVIII en relación con un problema de matemáticas
recreativas, los cuadrados latinos y los cuadrados grecolatinos
o cuadrados de Euler, nombre con el que también son conocidos,
han dado lugar a una abundante colección de resultados.
En lo que sigue, vamos a mostrar algunos resultados propios mostrados
ya en parte en nuestra exposición relativa a los cuadrados
mágicos. Para afrontar este tema correctamente podría
ser oportuno conocer previamente algunas definiciones y conceptos
recogidos en la monografía titulada "Cuadrados
latinos para obtener cuadrados mágicos"
DEFINICIONES
Sudoku.- Es un entretenimiento o pasatiempos
matemático consistente en completar con números
del 1 al n una tabla de n x n celdas (generalmente 9 x 9) de tal
modo que en el resultado final ninguna fila, columna o subregión
dada contenga mas de una vez alguno de los números indicados.
DESARROLLO
Otros resultados previos necesarios para la comprensión
de lo aquí expuesto, pueden verse, además de en
el referido trabajo sobre cuadrados latinos para la obtención
de cuadrados mágicos, en el titulado "Cuadrados
mágicos a partir de cuadrados latinos"
Con el desarrollo teórico expuesto en dichos artículos,
casi tenemos ya los fundamentos para poder construir una tabla
base para diversos sudokus de orden 9. Nos falta únicamente
ver como resolvemos la restricción de que en determinadas
subtablas de orden 3 no se repita ninguno de los dígitos
del 1 al 9.
A partir de un cuadrado latino dado:
y de otro ortogonal a él, como por ejemplo:
Podemos obtener sin dificultad una tabla base para la construcción
de numerosos sudokus.
Consideramos el cuadrado latino inicial yY una tabla vacía
de 3 x 3 subtablas de 3 x 3 celdas (numeradas según el
esquema representado en la figura adjunta)
Y sobre las que vamos colocando los elementos de acuerdo al
orden marcado por el cuadrado ortogonal considerado.
Esto es, tomando las columnas del cuadrado latino ortogonal
al de inicio, el primer uno se coloca en la posición
1 del cuadrado uno, el segundo 1 en la posición 8 del
cuadrado dos, el tercer uno en la posición 6 del cuadrado
tres, y así sucesivamente hasta llegar al final
Si permutamos varios elementos entre si, como por ejemplo el
1 con el 7 y el 3 con el 5, dentro de todas y cada una de las
subtablas, añadiremos dificultad al juego.
Borrando en cada subtabla una cantidad determinada de celdas
tendremos ya dispuesto un sudoku para que lo resuelva alguno
de nuestros familiares, amigos o alumnos:
BIBLIOGRAFIA
[1] "Mathematical Recreations & Essays" de W.
W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter
[2] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya.
I. Perelman.
[3] "Análisis Combinatorio" de K. Ribnikov,
Editorial Mir.
[4] "Matemática Discreta" de N. L. Biggs, Editorial
Vicens Vives.
[5] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M.
Gadner, Alianza editorial.
[6] "Special matrices and their applications in numerical
mathematics" de M. Fiedler.