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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

CONSTRUCCIÓN DE SUDOKUS

 

CONSTRUCCIÓN DE SUDOKUS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS

La resolucion de los famosos crucigramas numéricos conocidos con el nombre de sudokus es una afición que seduce cada dia a miles de lectores de todo tipo de periódicos, revistas y demás prensa escrita o sitios de entretenimiento.

Desde que he sabido de la existencia de este tipo de acertijos o rompecabezas numéricos me he sentido atraido por los fundamentos matemáticos de su construcción.

Es fácil ver, cuando se han resuelto algunos de ellos, que un sudoku es simplemente un cuadrado latino. Los cuadrados latinos son viejos conocidos de los matemáticos aficionados y profesionales ya que, además de para los sudokus son también fundamentales en la obtención de cuadrados mágicos de cualquier orden y en la construcción de tablas para el diseño de experimentos.

Desde que los estudiara Leonhard Euler allá por el siglo XVIII en relación con un problema de matemáticas recreativas, los cuadrados latinos y los cuadrados grecolatinos o cuadrados de Euler, nombre con el que también son conocidos, han dado lugar a una abundante colección de resultados. En lo que sigue, vamos a mostrar algunos resultados propios mostrados ya en parte en nuestra exposición relativa a los cuadrados mágicos. Para afrontar este tema correctamente podría ser oportuno conocer previamente algunas definiciones y conceptos recogidos en la monografía titulada "Cuadrados latinos para obtener cuadrados mágicos"

DEFINICIONES

Sudoku.- Es un entretenimiento o pasatiempos matemático consistente en completar con números del 1 al n una tabla de n x n celdas (generalmente 9 x 9) de tal modo que en el resultado final ninguna fila, columna o subregión dada contenga mas de una vez alguno de los números indicados.

DESARROLLO

Otros resultados previos necesarios para la comprensión de lo aquí expuesto, pueden verse, además de en el referido trabajo sobre cuadrados latinos para la obtención de cuadrados mágicos, en el titulado "Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos"

Con el desarrollo teórico expuesto en dichos artículos, casi tenemos ya los fundamentos para poder construir una tabla base para diversos sudokus de orden 9. Nos falta únicamente ver como resolvemos la restricción de que en determinadas subtablas de orden 3 no se repita ninguno de los dígitos del 1 al 9.

A partir de un cuadrado latino dado:

sudokus


y de otro ortogonal a él, como por ejemplo:

sudokus


Podemos obtener sin dificultad una tabla base para la construcción de numerosos sudokus.

Consideramos el cuadrado latino inicial y una tabla vacía de 3 x 3 subtablas de 3 x 3 celdas (numeradas según el esquema representado en la figura adjunta)
sudokus

Y sobre las que vamos colocando los elementos de acuerdo al orden marcado por el cuadrado ortogonal considerado.
sudokus

sudokus

Esto es, tomando las columnas del cuadrado latino ortogonal al de inicio, el primer uno se coloca en la posición 1 del cuadrado uno, el segundo 1 en la posición 8 del cuadrado dos, el tercer uno en la posición 6 del cuadrado tres, y así sucesivamente hasta llegar al final
sudokus
sudokus
Si permutamos varios elementos entre si, como por ejemplo el 1 con el 7 y el 3 con el 5, dentro de todas y cada una de las subtablas, añadiremos dificultad al juego.

sudokus


Borrando en cada subtabla una cantidad determinada de celdas tendremos ya dispuesto un sudoku para que lo resuelva alguno de nuestros familiares, amigos o alumnos:

sudokus
sudokus

BIBLIOGRAFIA

[1] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter

[2] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.

[3] "Análisis Combinatorio" de K. Ribnikov, Editorial Mir.

[4] "Matemática Discreta" de N. L. Biggs, Editorial Vicens Vives.

[5] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M. Gadner, Alianza editorial.

[6] "Special matrices and their applications in numerical mathematics" de M. Fiedler.

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tema escrito por: José Antonio Hervás