TEORÍA DE NÚMEROS

RISTRAS DE PRIMOS GEMELOS

RESUMEN

Entre otras aportaciones, en estas notas damos una aportación de lo que hemos dado en llamar Ristras de Primos Gemelos.

DESARROLLO

En teoría de números, un número primo truncable por la izquierda es un número primo que, en una base dada(por ejemplo base 10), no contiene ningún 0, y si el dígito inicial (izquierdo) se elimina sucesivamente, entonces todos los números resultantes son primos. Por ejemplo, 75653 es un primo truncable, porque 75653, 5653, 653, 53 y 3 son primos. La representación en base 10 es la más frecuente.
Nosotros vamos a trabajar con este concepto de truncamiento, pero no ya de uno en uno sino para encontrar un número primo de n cifras de modo que cumpla lo dicho, es decir que siga siendo primo al irle quitando dos a dos, sus cifras, por la izquierda.
Naturalmente, el dígito 0 no se puede usar en esta maniobra cuando las cifras se retiran de una en una, pero si, cuando se trata de primos truncables de dos en dos, de tres en tres,etc.
Nosotros vamos a aplicar el concepto de truncabilidad a los números primos gemelos e iniciaremos el proceso con truncaciones de 2 elementos.
Tomamos, por ejemplo, tenemos los primos gemelos 11 y 13 y tomándolos como germen formamos las series de números primos gemelos de clase II:

57 12 39 21 11
12 39 21 11
39 21 11
21 11
11

   Y

57 12 39 21 13
12 39 21 13
39 21 13
21 13
13

O, para verlos más facilmente:


5712392111 PRIMO 5712392113
12392111 PRIMO 12392113
392111 PRIMO 39213
2111 PRIMO 2113
11 PRIMO 13

Y tenemos cinco pares de primos gemelos que forman una ristra de primos gemelos de cinco elementos teniendo como germen el par de primos gemelos 11 y 13.

Otros primos gemelos como los anteriores pueden ser el germen de números primos gemelos de clase III, de clase IV y así sucesivamente, es decir.

101
102 101
201 102 101
339 201 102 101
351 339 201 102 101
204 351 339 201 102 101
297 204 351 339 201 102 101
792 297 204 351 339 201 102 101
777 792 297 204 351 339 201 102 101
 



103
102 103
201 102 103
339 201 102 103
351 339 201 102 103
204 351 339 201 102 103
297 204 351 339 201 102 103
792 297 204 351 339 201 102 103
777 792 297 204 351 339 201 102 103

y también

1019
1074 1019
1011 1074 1019
1086 1011 1074 1019
1815 1086 1011 1074 1019
1749 1815 1086 1011 1074 1019
1290 1749 1815 1086 1011 1074 1019
2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1019
1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1019
4125 1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1019
1113 4125 1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1019

y también:

1021
1074 1021
1011 1074 1021
1086 1011 1074 1021
1815 1086 1011 1074 1021
1749 1815 1086 1011 1074 1021
1290 1749 1815 1086 1011 1074 1021
2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1021
1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1021
4125 1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1021
1113 4125 1311 2910 1290 1749 1815 1086 1011 1074 1021

Todo lo anterior podemos hacerlo más resumido, llamando célula a cada grupo de dígitos de uno, dos, tres, etc.
Por teoría de números elemental es inmediato que si 1000A + 101 y 1000A + 103 son una pareja de primos gemelos, A tiene que ser múltiplo de 3; dicho de otra forma, A es congruente con 0 módulo 3.
Módulo 3, como 1000 es 1, se tiene que 1000A + 101 es congruente con A + 2. Si A es congruente con 1, 1000A + 101 sería múltiplo de 3, y por tanto no podría ser primo.
Análogamente, 1000A + 103 es congruente con A + 1 módulo 3. Si A es congruente con 2, 1000A + 103 sería múltiplo de 3, y por tanto no podría ser primo.
Así pues, A no puede ser congruente ni con 1 ni con 2 módulo 3, luego es múltiplo de 3.
Por inducción, eso se aplica a todas las "células", y por lo tanto,
todas ellas múltiplos de 3 y escribiendo, por ejemplo para la ristra de primos gemelos de germen 101 y 103 y células de clase III:


(777, 792, 297, 204, 351, 339, 201,102)

O lo que es igual:


\( \displaystyle \left(101 + 10^3\ast\sum^{n}_{k=1}10^{3k-3}v_k\; ,\; 103 +10^3\ast\sum^{n}_{k=1}10^{3k-3}v_k \right) n=1,..,8\)

RISTRA DE PRIMOS GEMELOS


BIBLIOGRAFIA

J. A. Hervás,Secretos de los primos gemelos




RISTRAS DE NÚMEROS PRIMOS-2