1) A es irreducible
2)

En esas condiciones, la matriz A posee un valor propio, real, simple y positivo que marca su radio espectral y viene acotado por (2):



además, el vector propio asociado a dicho valor propio puede tomarse positivo.

Demostración

Sea A una matriz de la forma (3):



con (4) :



Nota.- Los superíndices en las matrices y coordenadas señalan el orden de aproximación.

Sin pérdida de generalidad, podemos poner (5) :



Con los valores construimos una matriz diagonal y aplicamos sobre A la transformación (6):



con lo que resulta (7) :



de (5) tenemos (8):



con lo que podemos escribir (9) :



Pero también (10) :



Análogamente (11) :



por lo que (12) :



y, además (13) :



De igual forma se demuestra que (14):


Operando con la matriz A⁽¹⁾ de modo análogo a como hemos hecho con A, obtenemos una matriz denotada A⁽²⁾ semejante a ella pero en la que se cumplirá (15) :



Aplicando reiteradamente transformaciones como la dada por (6) llegamos a obtener (16) :



O, lo que es igual (17) :



Pero según se demuestra en el teorema 2 de [2], este valor debe ser un valor propio de A(s).
Que este valor señala el radio espectral de de A(s) puede verse fácilmente teniendo en cuenta que ningún valor propio de una matriz es superior a la norma mínima de esta, [3] , es decir (18):



pero en este caso (19) :



Y puesto que A^(s) y A tienen los mismos valores propios, se cumplirá lo dicho.
Para deducir que el valor propio es simple, aplicamos el teorema 2 de [2] realizando la simplificación en la fila del elemento de A^(s) que tenga mayor valor, lo cual nos lleva a obtener una matriz con norma inferior a .
Por otra parte, teniendo en cuenta el algoritmo de transformación de A en A^(s) , la matriz diagonal (20) :



sólo posee elementos positivos en su diagonal principal y, considerando el teorema 1 de [2], estos elementos forman el vector propio de A que verifica (21) :



REFERENCIAS

1.- Perron, O., Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann., vol 64.

2.- Hervás, J. A., Matrices sigma. Encuentro de Análisis Matricial y Aplicaciones, U.P.V.

3.- Faddeva, V. N., Métodos de cálculo de Algebra lineal, Edit. Paraninfo.