OTROS RECURSOS Y UTILIDADES
Si los recursos que te ofrecemos en el sitio Matemáticas y Poesía te parecen de utilidad, ponnos entre tus favoritos y no dejes de visitarnos de vez en cuando.

Ya sabes que, además de las distintas colecciones de problemas y ejercicios resueltos que puedes consultar desde esta misma página, también te ofrecemos otros recursos y entretenimientos.

Podemos enviarte libre de publicidad y seguidos los enunciados y soluciones, la colección de problemas y ejercicios resueltos que estas viendo. Si la deseas, envía un correo electrónico a
jahpagpersARROBAtelefonicaPUNTOnet
indicando cual de las colecciones te interesa.

A cambio, sólo te pedimos que por cada grupo de cinco problemas nos facilites la dirección electrónica de alguno de tus conocidos para que nosotros le invitemos en tu nombre a visitar el sitio matemáticas y Poesía.
 
Google
 
Web matematicas y poesia
SOBRE EL TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS


RESUMEN

En el presente trabajo obtenemos una sencilla demostración del conocido teorema de Perrón-Frobenius [1]

INTRODUCCION

Como continuación de nuestro trabajo sobre matrices sigma, hemos obtenido algunos resultados interesantes relacionados con las Matrices no negativas; en concreto, tenemos una demostración del teorema de Perrón-Frobenius, de aplicación en áreas tales como teoría económica, matrices estocásticas y teoría de juegos y que es un resultado clásico obtenido a principios del siglo XX.

DEFINICIONES

Decimos que una matriz cuadrada A, de dimensión nxn , es reducible si existe alguna matriz de permutación que transforme a dicha matriz en una triangular por bloques. Esto es (1):


Con Mij matrices cuadradas.

TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS

Sea A una matriz cuadrada n-dimensional para la que se cumple :
    1) A es irreducible
    2)
En esas condiciones, la matriz A posee un valor propio, real, simple y positivo que marca su radio espectral y viene acotado por (2):



además, el vector propio asociado a dicho valor propio puede tomarse positivo.

Demostración

Sea A una matriz de la forma (3):



con (4) :



Nota.- Los superíndices en las matrices y coordenadas señalan el orden de aproximación.

Sin pérdida de generalidad, podemos poner (5) :



Con los valores construimos una matriz diagonal y aplicamos sobre A la transformación (6):



con lo que resulta (7) :



de (5) tenemos (8):



con lo que podemos escribir (9) :



Pero también (10) :



Análogamente (11) :



por lo que (12) :



y, además (13) :



De igual forma se demuestra que (14):


Operando con la matriz A(1) de modo análogo a como hemos hecho con A, obtenemos una matriz denotada A(2) semejante a ella pero en la que se cumplirá (15) :



Aplicando reiteradamente transformaciones como la dada por (6) llegamos a obtener (16) :



O, lo que es igual (17) :



Pero según se demuestra en el teorema 2 de [2], este valor debe ser un valor propio de A(s).
Que este valor señala el radio espectral de de A(s) puede verse fácilmente teniendo en cuenta que ningún valor propio de una matriz es superior a la norma mínima de esta, [3] , es decir (18):



pero en este caso (19) :



Y puesto que A(s) y A tienen los mismos valores propios, se cumplirá lo dicho.
Para deducir que el valor propio es simple, aplicamos el teorema 2 de [2] realizando la simplificación en la fila del elemento de A(s) que tenga mayor valor, lo cual nos lleva a obtener una matriz con norma inferior a .
Por otra parte, teniendo en cuenta el algoritmo de transformación de A en A(s) , la matriz diagonal (20) :



sólo posee elementos positivos en su diagonal principal y, considerando el teorema 1 de [2], estos elementos forman el vector propio de A que verifica (21) :



REFERENCIAS

1.- Perron, O., Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann., vol 64.

2.- Hervás, J. A., Matrices sigma. Encuentro de Análisis Matricial y Aplicaciones, U.P.V.

3.- Faddeva, V. N., Métodos de cálculo de Algebra lineal, Edit. Paraninfo.
 
Desde aquí puedes ir a otras partes de M&P
Inicio
Intercambiar vacaciones
Jugar al tangrama
Resolver Rebuses
Comprar algún detalle
Arte y Naturaleza
Ver el mapa del sitio
o tomarte un respiro leyendo alguno de nuestros
Poemas íntimos
Poemas de amor
Poemas sociales
Poemas acrósticos
Poemas propios
Poemas recitados