DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
DE PERRON-FROBENIUS

RESUMEN

En el presente trabajo obtenemos una sencilla demostración del conocido teorema de Perrón-Frobenius [1]

INTRODUCCION

Como continuación de nuestro trabajo sobre matrices sigma, hemos obtenido algunos resultados interesantes relacionados con las Matrices no negativas; en concreto, tenemos una demostración del teorema de Perrón-Frobenius, de aplicación en áreas tales como teoría económica, matrices estocásticas y teoría de juegos y que es un resultado clásico obtenido a principios del siglo XX.

DEFINICIONES

Decimos que una matriz cuadrada A, de dimensión nxn , es reducible si existe alguna matriz de permutación que transforme a dicha matriz en una triangular por bloques. Esto es (1):

\(A \;\textrm{reducible } \Leftrightarrow \exists P / P·A·P^T = \left(
\begin{array}{cccc}
M_{11} & 0 & . & 0 \\
M_{21} & M_{22} & . & \\
. & . & . & . \\
M_{n1} & M_{n2} & . & M_{nn} \\
\end{array}
\right) \)

Con M_ij matrices cuadradas.

TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS

Sea A una matriz cuadrada n-dimensional para la que se cumple :

1) A es irreducible
2) \(a_{ii}\geq 0\)

En esas condiciones, la matriz A posee un valor propio, real, simple y positivo que marca su radio espectral y viene acotado por (2):

\( \displaystyle \min \sum_ {i=1}^n|a_{ij}|\leq \lambda \leq \max \sum_ {i=1}^n|a_{ij}| \)

además, el vector propio asociado a dicho valor propio puede tomarse positivo.

Demostración

Sea A una matriz de la forma (3):

\( A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{1n} & . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & . & a_{2n} \\ . & . & . & . \\ a_{n1} & a_{n2} & . & a_{nn} \\ \end{array} \right) \)

con (4) :

\( \begin{array}{l}
a_{11} + a_{21} + \cdots + a_{n1} = v_1^1 \\

a_{12} + a_{22} + \cdots + a_{n2} = v_2^1 \\

\qquad \cdots \\

a_{1n} + a_{2n} + \cdots + a_{nn} = v_n^1
\end{array} \)

Nota.- Los superíndices en las matrices y coordenadas señalan el orden de aproximación.

Sin pérdida de generalidad, podemos poner (5) :

\( 0 < v_1^1 \leq v_2^1 \leq \cdots \leq v_n^1 \)

Con los valores \(v_i^1\) construimos una matriz diagonal y aplicamos sobre A la transformación (6):

\( V^1·A·(V^1)^{-1} \)

con lo que resulta (7) :

\( \displaystyle A^{(1)} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \left(\frac{v_1^1}{v_1^2}\right)a_{12} & \cdots & \left(\frac{v_1^1}{v_n^2}\right)a_{1n} \\ \left(\frac{v_1^1}{v_1^2}\right)a_{12} & a_{22} & \cdots & \left(\frac{v_2^1}{v_n^2}\right)a_{2n} \\ \cdots & \ddots & \cdots & \cdots \\ \left(\frac{v_n^1}{v_1^2}\right)a_{n2} & \left(\frac{v_n^1}{v_1^2}\right)a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right) \)

de (5) tenemos (8):

\( \displaystyle 1 \leq \frac{v_2^1}{v_1^1} \leq \frac{v_3^1}{v_1^1} \leq \cdots \leq \frac{v_n^1}{v_1^1} \)

con lo que podemos escribir (9) :

\( \displaystyle v_1^2 = a_{11} + \frac{v_2^1}{v_1^1}a_{21} + \cdots + \frac{v_n^1}{v_1^1}a_{n1}\geq a_{11} + a_{21} + \cdots a_{n1} = v_1^1 \)

Pero también (10) :

\( \displaystyle \begin{array}{l}
v_1^1 v_1^2 = a_{11}v_1^1 + a_{21}v_2^1 + \cdots + a_{n1}v_n^1\geq \\
 \\
\leq a_{11}v_n^1 + a_{21}v_n^1 + \cdots a_{n1}v_n^1 = \\
 \\
= \left(a_{11} + \cdots + a_{n1}\right)v_n^1 = v_1^1·v_n^1\Rightarrow v_1^2 \leq v_n^1
\end{array} \)

Análogamente (11) :

\( \displaystyle 1 \geq \frac{v_{n-1}^1}{v_n^1} \geq \cdots \geq \frac{v_1^1}{v_n^1} \)

por lo que (12) :

\( \displaystyle \frac{v_1^1}{v_n^1}a_{1n}+ \frac{v_2^1}{v_n^1}a_{2n} + \cdots + a_{nn} = v_n^2 \leq a_{1n}+ a_{2n} + \cdots + a_{nn} = v_n^1 \)

y, además (13) :

\( \displaystyle \begin{array}{l}
v_n^1 v_n^2 = a_{1n}v_1^1 + a_{2n}v_2^1 + \cdots + a_{nn}v_n^1\geq \\
 \\
\geq a_{1n}v_n^1 + a_{2n}v_n^1 + \cdots a_{nn}v_n^1 = \\
 \\
= \left(a_{1n} + \cdots + a_{nn}\right)v_1^1 = v_n^1·v_1^1\Rightarrow v_n^2 \leq v_n^1
\end{array} \)

De igual forma se demuestra que (14):

\( \displaystyle \begin{array}{l} v_2^2, \cdots , v_{n-1}^2 \leq v_n^1 \\  \\ v_2^2, \cdots , v_{n-1}^2 \geq v_1^1 \end{array} \)

Operando con la matriz A⁽¹⁾ de modo análogo a como hemos hecho con A, obtenemos una matriz denotada A⁽²⁾ semejante a ella pero en la que se cumplirá (15) :

\( \left|v_n^3 - v_1^3\right| < \left|v_n^2 - v_1^2\right| < \left|v_n^1 - v_1^1\right| \)

Aplicando reiteradamente transformaciones como la dada por (6) llegamos a obtener (16) :

\( v_1^s = v_2^s = ... = v_n^s \)

O, lo que es igual (17) :

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n a_{i1}^s = \sum_{i=1}^n a_{i2}^s = \cdots = \sum_{i=1}^n a_{in}^s = \lambda \)

Pero según se demuestra en el teorema 2 de [2], este valor debe ser un valor propio de A(s).
Que este valor señala el radio espectral de de A(s) puede verse fácilmente teniendo en cuenta que ningún valor propio de una matriz es superior a la norma mínima de esta, [3] , es decir (18):

\( \lambda = \|A^{(s)}\| \)

pero en este caso (19) :

\( \displaystyle \min \|A^{(s)}\| = \sum_{i=1}^n a_{i2}^s = \lambda \)

Y puesto que A^(s) y A tienen los mismos valores propios, se cumplirá lo dicho.
Para deducir que el valor propio es simple, aplicamos el teorema 2 de [2] realizando la simplificación en la fila del elemento de A^(s) que tenga mayor valor, lo cual nos lleva a obtener una matriz con norma inferior a \(\lambda\).
Por otra parte, teniendo en cuenta el algoritmo de transformación de A en A^(s) , la matriz diagonal (20) :

\(V^s · V^{s-1}····V^1 = W \)

sólo posee elementos positivos en su diagonal principal y, considerando el teorema 1 de [2], estos elementos forman el vector propio de A que verifica (21) :

\( A·w = \lambda · w \quad ; \quad W·A·W^{-1} = A^{(s)} = A_{\Sigma(l)}\quad ; \quad \Sigma(l)= \lambda
\)

REFERENCIAS

1.- Perron, O., Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann., vol 64.

2.- Hervás, J. A., Matrices sigma. Encuentro de Análisis Matricial y Aplicaciones, U.P.V.

3.- Faddeva, V. N., Métodos de cálculo de Algebra lineal, Edit. Paraninfo.

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