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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
ESPACIOS VECTORIALES

DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS

 

EJERCICIO SOBRE DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS

ENUNCIADO

Sea el espacio vectorial R4 referido a su base canónica y sea f un endomorfismo cuya matriz respecto de dicha base es:

diagonalización de endomorfismos

CUESTIONES

Demostrar que la matriz A admite cuatro valores propios distintos.
Obtener una base de vectores propios de A
Obtener la base B en la cual la matriz de f sea diagonal. Teniendo en la diagonal principal y ordenados de menor a mayor, los valores propios obtenidos en el punto 1. Determinar la matriz P que permite la diagonalización de la matriz A.
Calcular An (n natural) y probar que se tiene:

diagonalización de endomorfismos

Donde las Mi (1<i<4) son matrices independientes de n.

RESPUESTAS

Para resolver la primera de las cuestiones, determinamos el polinomio característico de la matriz A. Desarrollando el determinante correspondiente y resolviendo la ecuación resultante, obtenemos:

diagonalización de endomorfismos

Con lo que los valores propios serán:

diagonalización de endomorfismos

Como todos los valores propios son distintos, la matriz A admitirá una base de vectores propios. Analizamos el caso del valor propio -1:

diagonalización de endomorfismos

Resolviendo el sistema tenemos:

diagonalización de endomorfismos

Realizando cálculos análogos con los otros tres valores propios, resulta:

diagonalización de endomorfismos

La matriz diagonal y la matriz de cambio serán, respectivamente:

diagonalización de endomorfismos

Para obtener la matriz An vamos a demostrar una fórmula de recurrencia. Por las propiedades de la matriz P que permite la diagonalización de la matriz A, podemos escribir:

diagonalización de endomorfismos

Supongamos ahora que se cumple:

diagonalización de endomorfismos

Podemos hacer:

diagonalización de endomorfismos

Y resulta entonces:

diagonalización de endomorfismos

Para calcular este valor determinamos la matriz inversa de P, obteniendo primero su traspuesta y después su adjunta:

diagonalización de endomorfismos


diagonalización de endomorfismos

Tenemos entonces, desarrollando el producto matricial indicado en (*):

diagonalización de endomorfismos

Para desarrollar An en la forma solicitada en (1) descomponemos dicha matriz en suma de cuatro matrices en las que consten, respectivamente, los valores (-1)n, 1n, 2n y 3n y después sacamos estos términos fuera de cada matriz. De ese modo resulta fácil ver que las matrices M buscadas son:

diagonalización de endomorfismos


diagonalización de endomorfismos
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tema escrito por: José Antonio Hervás