DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS - EJERCICIO.

ENUNCIADO

Sea el espacio vectorial R4 referido a su base canónica y sea f un endomorfismo cuya matriz respecto de dicha base es:



CUESTIONES

Demostrar que la matriz A admite cuatro valores propios distintos.
Obtener una base de vectores propios de A
Obtener la base B en la cual la matriz de f sea diagonal. Teniendo en la diagonal principal y ordenados de menor a mayor, los valores propios obtenidos en el punto 1. Determinar la matriz P que permite la diagonalización de la matriz A.
Calcular Aⁿ (n natural) y probar que se tiene:



Donde las Mi (1<i<4) son matrices independientes de n.

RESPUESTAS

Para resolver la primera de las cuestiones, determinamos el polinomio característico de la matriz A. Desarrollando el determinante correspondiente y resolviendo la ecuación resultante, obtenemos:



Con lo que los valores propios serán:



Como todos los valores propios son distintos, la matriz A admitirá una base de vectores propios. Analizamos el caso del valor propio -1:



Resolviendo el sistema tenemos:



Realizando cálculos análogos con los otros tres valores propios, resulta:



La matriz diagonal y la matriz de cambio serán, respectivamente:



Para obtener la matriz An vamos a demostrar una fórmula de recurrencia. Por las propiedades de la matriz P que permite la diagonalización de la matriz A, podemos escribir:



Supongamos ahora que se cumple:



Podemos hacer:



Y resulta entonces:



Para calcular este valor determinamos la matriz inversa de P, obteniendo primero su traspuesta y después su adjunta:






Tenemos entonces, desarrollando el producto matricial indicado en (*):



Para desarrollar An en la forma solicitada en (1) descomponemos dicha matriz en suma de cuatro matrices en las que consten, respectivamente, los valores (-1)ⁿ, 1ⁿ, 2ⁿ y 3ⁿ y después sacamos estos términos fuera de cada matriz. De ese modo resulta fácil ver que las matrices M buscadas son: