EJERCICIO SOBRE APLICIONES
LINEALES
ENUNCIADO
Dados los siguientes espacios vectoriales donde se consideran
las bases que se indican:
\( \begin{array}{l}
V \equiv R^3 \quad;\quad \textrm{ con base canónica} \\
\\
U \equiv M_2(R) \quad;\quad \textrm{ con base canónica}
\end{array} \)
Y, por último, el espacio vectorial W de las funciones
polinómicas de \( R \rightarrow R\), de grado menor o igual a 3, en el que
se considera la base canónica:
\( B" = { 1, t, t^2 , t^3}\)
Sean f y g las aplicaciones lineales definidas en la forma:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
f : R^3 \rightarrow M_2(R)/f(x_1, x_2, x_3) \rightarrow\left(
\begin{array}{cc}
x_1-x_2 & x_2 \\
x_2 & x_2-x_3 \\
\end{array}
\right) \\
\\
g : M_2(R) \rightarrow P_3(t)/g(A) = (1\qquad t)·A·\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^2 \\
\end{array}
\right)
\end{array} \)
a) probar que f y g aplicaciones lineales
b) hallar las matrices asociadas a f y g, respecto de las bases
dadas
c) hallar los núcleos e imágenes de f y g
d) hallar la matriz asociada a \( (f\circ g) \) , su rango y el
núcleo e imagen.
RESPUESTAS
Vamos a ver primero si f está bien definida. Comprobamos
que si lo está, puesto que para cada vector de \( R^3 \)
existe una y solo una imagen.
Veamos ahora sí g está bien definida. Cada elemento
de \( M_2(R)\) será de la forma:
\( A = \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
z & u \\
\end{array}
\right) \)
Por lo tanto, haremos:
\( (1\quad t) \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
z & u \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^2 \\
\end{array}
\right) = (x+t·z\quad y+t·u)\left(
\begin{array}{c}
t \\
t^2 \\
\end{array}
\right) = u·t^3+ (y+z)t^2 + x·t \)
Es un polinomio de grado menor o igual a 3.
Así, por ejemplo, tenemos:
\( g\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)= t^3 + 2·t^2 + t \)
Vamos a calcular ahora las matrices asociadas a f y g. Para el
primer caso tenemos que \( R^3 \) Es de dimensión 3 \(
M_2(R) \) dimensión 4, no tanto, matriz asociada a la aplicación
será de 3 columnas y 4 filas. Calculamos las imágenes
de una base canónica:
\( \begin{array}{c}
f(1,0,0) = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)= E_1 \;;\; f(0,1,0) = \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\right)= \\
\\
= -E_1+E_2+E_3+E_4 \;;\;f(0,0,1) = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right)= -E_4
\end{array}
\)
La matriz asociada en la base canónica será, por
tanto:
\(M(f) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right)\)
Para conocer la matriz asociada a g, vamos a calcular las imágenes
de una base canónica:
\( \begin{array}{c}
g\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)= t = (0,1,0,0)
\\
g\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)= t^2 = (0,0,1,0) \\
g\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)= t^2 = (0,0,1,0) \\
g\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)= t^3 = (0,0,0,1)
\end{array}
\)
Por lo tanto, la matriz asociada a g es de la forma:
\( M(g) = \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) \)
Para calcular los subespacios Im f e Im g, calculamos el rango
de las anteriores matrices:
\( \begin{array}{l}
r[M(f)] = r \left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right) \Rightarrow r[M(f)] = 3 \\
\\
r[M(g)] = r \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)= r \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) = r\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) = 3
\end{array}
\)
Por lo tanto, para conocer Im f se necesita tres vectores y para
conocer Im g otros tres vectores.
Para Im f tenemos, por ejemplo:
\( Im f = \{(1,0,0,0),(-1,1,1,1),(0,0,0,1)\} = \left\{\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right), \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\right\} \)
De igual forma, para Im g, se tiene:
\( Im g = \{(0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\} = \{t, t^2, t^3\}
\)
Los núcleos de cada aplicación tendrá respectivamente
dimensión 1 y 0, obtenidos dichos valores por la ecuación:
\( Dim E = Dim Im f + Dim Ker f\)
Para el primer caso, el núcleo quede descrito por el vector
(0,0,0). Para el segundo tenemos que son necesarias 3 ecuaciones
cartesianas para describirlo, es decir:
\( \begin{array}{c}
x_1=0 \\
x_2=-x_3 \\
x_4 = 0
\end{array} \Rightarrow Ker g = \{\lambda(0,1,-1,0)\} = \left\{\lambda\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\right\} \)
Para calcular la matriz asociada a \( (g\circ f) \) podemos hacerlo
en dos formas. La primera determinando el producto de las matrices
asociadas:
\( M(g)·M(f) = \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right) \)
El segundo caso sería definiendo la aplicación \(
(g\circ f) \) de \( R^3 \) en \( P^3 \) en la forma:
\( \begin{array}{l}
(g·f)(x,y,z) = g[f(x,y,z)] = g\left(
\begin{array}{cc}
x-y & y \\
y & y-z \\
\end{array}
\right) = \\
\\
= (x-y)t + 2yt^2 + (y-z)t^3
\end{array} \)
Según esto, imágenes de los vectores de la base
canónica de \( R^3 \) serán:
\( \begin{array}{l}
\left.
\begin{array}{l}
(g·f)(1,0,0)= t = (0,1,0,0) \\
(g·f)(0,1,0) = t^3+2t^2-t = (0,-1,2,1) \\
(g·f)(0,0,1)= -t^3 = (0,0,0,-1) \\
\end{array}
\right\}\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow M(g·f) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right)
\end{array} \)
Y como es evidente la matriz obtenida es la misma en los dos casos.