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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
ESPACIOS VECTORIALES

APLICACIONES LINEALES

 

EJERCICIO SOBRE APLICIONES LINEALES

ENUNCIADO

Dados los siguientes espacios vectoriales donde se consideran las bases que se indican:
    \( \begin{array}{l} V \equiv R^3 \quad;\quad \textrm{ con base canónica} \\  \\ U \equiv M_2(R) \quad;\quad \textrm{ con base canónica} \end{array} \)
Y, por último, el espacio vectorial W de las funciones polinómicas de \( R \rightarrow R\), de grado menor o igual a 3, en el que se considera la base canónica:
    \( B" = { 1, t, t^2 , t^3}\)
Sean f y g las aplicaciones lineales definidas en la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f : R^3 \rightarrow M_2(R)/f(x_1, x_2, x_3) \rightarrow\left(
    \begin{array}{cc}
    x_1-x_2 & x_2 \\
    x_2 & x_2-x_3 \\
    \end{array}
    \right) \\
     \\
    g : M_2(R) \rightarrow P_3(t)/g(A) = (1\qquad t)·A·\left(
    \begin{array}{c}
    t \\
    t^2 \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array} \)
a) probar que f y g aplicaciones lineales
b) hallar las matrices asociadas a f y g, respecto de las bases dadas
c) hallar los núcleos e imágenes de f y g
d) hallar la matriz asociada a \( (f\circ g) \) , su rango y el núcleo e imagen.


RESPUESTAS

Vamos a ver primero si f está bien definida. Comprobamos que si lo está, puesto que para cada vector de \( R^3 \) existe una y solo una imagen.
Veamos ahora sí g está bien definida. Cada elemento de \( M_2(R)\) será de la forma:
    \( A = \left(
    \begin{array}{cc}
    x & y \\
    z & u \\
    \end{array}
    \right) \)
Por lo tanto, haremos:
    \( (1\quad t) \left(
    \begin{array}{cc}
    x & y \\
    z & u \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    t \\
    t^2 \\
    \end{array}
    \right) = (x+t·z\quad y+t·u)\left(
    \begin{array}{c}
    t \\
    t^2 \\
    \end{array}
    \right) = u·t^3+ (y+z)t^2 + x·t \)
Es un polinomio de grado menor o igual a 3.
Así, por ejemplo, tenemos:
    \( g\left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)= t^3 + 2·t^2 + t \)
Vamos a calcular ahora las matrices asociadas a f y g. Para el primer caso tenemos que \( R^3 \) Es de dimensión 3 \( M_2(R) \) dimensión 4, no tanto, matriz asociada a la aplicación será de 3 columnas y 4 filas. Calculamos las imágenes de una base canónica:
    \( \begin{array}{c}
    f(1,0,0) = \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)= E_1 \;;\; f(0,1,0) = \left(
    \begin{array}{cc}
    -1 & 1 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right)= \\
     \\
    = -E_1+E_2+E_3+E_4 \;;\;f(0,0,1) = \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    0 & -1 \\
    \end{array}
    \right)= -E_4
    \end{array}
    \)
La matriz asociada en la base canónica será, por tanto:
    \(M(f) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & -1 \\
    \end{array}
    \right)\)
Para conocer la matriz asociada a g, vamos a calcular las imágenes de una base canónica:
    \( \begin{array}{c}
    g\left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)= t = (0,1,0,0)
    \\
    g\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)= t^2 = (0,0,1,0) \\
    g\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)= t^2 = (0,0,1,0) \\
    g\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)= t^3 = (0,0,0,1)
    \end{array}
    \)
Por lo tanto, la matriz asociada a g es de la forma:
    \( M(g) = \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
Para calcular los subespacios Im f e Im g, calculamos el rango de las anteriores matrices:
    \( \begin{array}{l}
    r[M(f)] = r \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & -1 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow r[M(f)] = 3 \\
     \\
    r[M(g)] = r \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)= r \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) = r\left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 0 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) = 3
    \end{array}
    \)
Por lo tanto, para conocer Im f se necesita tres vectores y para conocer Im g otros tres vectores.
Para Im f tenemos, por ejemplo:
    \( Im f = \{(1,0,0,0),(-1,1,1,1),(0,0,0,1)\} = \left\{\left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right), \left(
    \begin{array}{cc}
    -1 & 1 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right),\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)
    \right\} \)
De igual forma, para Im g, se tiene:
    \( Im g = \{(0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\} = \{t, t^2, t^3\} \)
Los núcleos de cada aplicación tendrá respectivamente dimensión 1 y 0, obtenidos dichos valores por la ecuación:
    \( Dim E = Dim Im f + Dim Ker f\)
Para el primer caso, el núcleo quede descrito por el vector (0,0,0). Para el segundo tenemos que son necesarias 3 ecuaciones cartesianas para describirlo, es decir:
    \( \begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2=-x_3 \\
    x_4 = 0
    \end{array} \Rightarrow Ker g = \{\lambda(0,1,-1,0)\} = \left\{\lambda\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    -1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)
    \right\} \)
Para calcular la matriz asociada a \( (g\circ f) \) podemos hacerlo en dos formas. La primera determinando el producto de las matrices asociadas:
    \( M(g)·M(f) = \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & -1 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 0 \\
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 1 & -1 \\
    \end{array}
    \right) \)
El segundo caso sería definiendo la aplicación \( (g\circ f) \) de \( R^3 \) en \( P^3 \) en la forma:
    \( \begin{array}{l}
    (g·f)(x,y,z) = g[f(x,y,z)] = g\left(
    \begin{array}{cc}
    x-y & y \\
    y & y-z \\
    \end{array}
    \right) = \\
     \\
    = (x-y)t + 2yt^2 + (y-z)t^3
    \end{array} \)
Según esto, imágenes de los vectores de la base canónica de \( R^3 \) serán:
    \( \begin{array}{l}
    \left.
    \begin{array}{l}
    (g·f)(1,0,0)= t = (0,1,0,0) \\
    (g·f)(0,1,0) = t^3+2t^2-t = (0,-1,2,1) \\
    (g·f)(0,0,1)= -t^3 = (0,0,0,-1) \\
    \end{array}
    \right\}\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow M(g·f) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 0 \\
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 1 & -1 \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array} \)
Y como es evidente la matriz obtenida es la misma en los dos casos.
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre un ejercicio de aplicaciones lineles?.- ¡Recomiénda esta página!

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tema escrito por: José Antonio Hervás