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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA

SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN

 

APUNTES SOBRE SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN

Después de los planos, las superficies mas sencillas son las definidas por ecuaciones de segundo grado en coordenadas cartesianas, llamadas superficies de segundo orden o cuádricas.

Elipsoide.- Llamamos elipsoide a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \)
cuádricas

Las secciones del elipsoide por planos paralelos a los planos coordenados son elipses.

En el caso particular de que alguno de los parámetros a, b, c se repita, las secciones elípticas se convierten en circunferencias y puede considerarse el elipsoide como engendrado por la rotación de la elipse alrededor de uno. de los ejes. En este último caso el elipsoide se llama entonces de revolución.

Si coinciden los tres parámetros a = b = c, nos encontramos con el caso de una esfera. La ecuación :
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =- 1 \)
no determina ninguna figura real, pero por analogía con la ecuación anterior, recibe el nombre de ecuación del elipsoide imaginario

Hiperboloide de una hoja.- Llamamos hiperboloide de una hoja a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)
cuádricas

Los parámetros a, b, c son los semiejes del hperboloide de una hoja. Si seccionamos la figura por planos paralelos al XOY, las secciones son elipses semejantes.

La elipse determinada por el plano XOY es la menor de todas las posibles y recibe el nombre de elipse de garganta. Si desarrollamos una sección por un plano que contenga al eje Z, se obtiene una hipérbola. En el caso de que coincidan dos de los parámetros, a = b, las secciones por planos paralelos al XOY son circunferencias con centro en el eje OZ. Podemos considerar en este caso que el hiperboloide está engendrado por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes.

Hiperboloide de dos hojas
.- llamamos hiperboloide de dos hojas a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} =- 1 \)
cuádricas

que representa un hiperboloide de dos hojas sobre el eje Z.

Cuando el signo negativo antecede a cualquiera de los otros dos términos, el hiperboloide se encuentra sobre el eje coordenado que afecta.

Paraboloide elíptico.- Llamamos paraboloide elíptico a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z \)
cuádricas

el punto que coincide con el origen de coordenadas se llama vértice del paraboloide. Puede ocurrir que la figura no coincida con el origen de coordenadas en el vértice; la ecuación toma entonces la forma:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + k = z \)
Las secciones que se obtienen al cortar la figura por planos que contienen al eje OZ son parábolas y las que se obtienen al cortarla por planos que contengan al eje YO son elipses.

Paraboloide hiperbólico.- Llamamos paraboloide hiperbólico a la superficie que en un sistema rectangular de coordenadas se determina por la ecuación :
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -z \)
Esta figura se conoce con el nombre de silla de montar. Cuando la ecuación anterior toma la forma dada por la ecuación
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z \)
la figura queda invertida.

Una cuádrica se llama degenerada cuando tiene por lo menos un punto singular. Un punto singular de una cuádrica es aquél para el que se anulan todos los coeficientes de la ecuación del plano tangente en dicho punto. Se tiene que si se anulan los coeficientes, toda recta que pase por dicho punto es tangente y, por lo tanto, no se puede hablar de plano tangente en dicho punto.
Una cuádrica degenerada pertenece, según tenga un punto singular propio o impropio a uno u otro (o ambos) de los dos tipos siguientes:

Conos cuádricos.- Llamamos cono cuádrico o cono de segundo orden a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por cualquiera de las ecuaciones:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \; ; \; \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \; ; \; - \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)


cuádricascuádricas
La ecuación :
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0 \)
determina un punto real único que es el (0,0,0) y recibe el nombre de ecuación del cono imaginario.

El punto singular del cono cuádrico es su vértice.

Cilindros cuádricos.- Podemos considerar varios tipos de cilindros cuádricos según que sus secciones paralelas al plano generatriz sean elipses, hipérbolas o parábolas.

En el primer caso tenemos el cilindro elíptico dado por la ecuación de la izquierda:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \; ; \;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
cuádricas

En el segundo caso se tiene el cilindro hiperbólico dado por ecuación de la derecha y en el tercer caso se obtiene el cilindro parabólico dado por cualquiera de las ecuaciones:
    \(y^2 = 2p·x\; ; \; z^2 = 2q·y \; ; \; x^2 = 2r·z\)
cuádricas cuádricas

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tema escrito por: José Antonio Hervás