matemáticas y poesía TEMAS VARIOS MONOGRAFIAS VARIAS
Búsqueda personalizada
Teoría Matricial
Cuadrados Mágicos
Teoría de números
Valores Propios
Trabajos sobre geometría, física, cálculo integral y control estadístico de procesos para su aplicación a la ingeniería y a la Gestión.

Manual de control estadístico de procesos
Completo manual que describe las técnicas mas generales para el Control de la Calidad.

Estructura de los sólidos
La denominación de sólido se aplica a sustancias rígidas y elásticas.

Movimiento sobre la superficie de la Tierra
Aplicación de las ecuaciones de la cinemática a un problema de trascendencia local.
Superficies de segundo orden
Después de los planos, las superficies más sencillas son las cuádricas.

Ecuaciones de planos y rectas
Monografía básica relativa a la determinación de ecuaciones de planos y rectas.

Velocidad y aceleración en CCP
Determinación de la velocidad y aceleración de un movil en coordenadas cilindricoparabólicas.

Integrales de funciones racionales
Manual teórico práctico para el cálculo de integrales de funciones racionales.
 

MONOGRAFIA BÁSICA. SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN

Después de los planos, las superficies mas sencillas son las definidas por ecuaciones de segundo grado en coordenadas cartesianas, llamadas superficies de segundo orden o cuádricas.


Elipsoide.- Llamamos elipsoide a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

cuádricas

Las secciones del elipsoide por planos paralelos a los planos coordenados son elipses.
En el caso particular de que alguno de los parámetros a, b, c se repita, las secciones elípticas se convierten en circunferencias y puede considerarse el
cuádricas
elipsoide como engendrado por la rotación de la elipse alrededor de uno. de los ejes. En este último caso el elipsoide se llama entonces de revolución.
Si coinciden los tres parámetros a = b = c, nos encontramos con el caso de una esfera.
La ecuación :

cuádricas

no determina ninguna figura real, pero por analogía con la ecuación anterior, recibe el nombre de ecuación del elipsoide imaginario

Hiperboloide de una hoja.- Llamamos hiperboloide de una hoja a la superficie que en un
sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

cuádricas

Los parámetros a, b, c son los semiejes del hperboloide de una hoja.
Si seccionamos la figura por planos paralelos al XOY, las secciones son elipses semejantes.
La elipse determinada por el plano XOY es la menor de todas las posibles y recibe el nombre de elipse de garganta.
cuádricas
Si desarrollamos una sección por un plano que contenga al eje Z, se obtiene una hipérbola. En el caso de que coincidan dos de los parámetros, a = b, las secciones por planos paralelos al XOY son circunferencias con centro en el eje OZ. Podemos considerar en este caso que el hiperboloide está engendrado por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes.

Hiperboloide de dos hojas.- llamamos hiperboloide de dos hojas a la superficie que en un
sistema de coordenadas cartesianas se determina por la ecuación:
cuádricas

que representa un hiperboloide de dos hojas sobre el eje Z.
Cuando el signo negativo antecede a cualquiera de los otros dos términos, el hiperboloide se encuentra sobre el eje coordenado que afecta.
cuádricas

Paraboloide elíptico.- Llamamos paraboloide elíptico a la superficie que en un sistema
cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

cuádricas

el punto que coincide con el origen de coordenadas se llama vértice del paraboloide. Puede
ocurrir que la figura no coincida con el origen de coordenadas en el vértice; la ecuación toma entonces la forma:

cuádricas
cuádricas

Las secciones que se obtienen al cortar la figura por planos que contienen al eje OZ son
parábolas y las que se obtienen al cortarla por planos que contengan al eje YO son elipses.

Paraboloide hiperbólico.- Llamamos paraboloide hiperbólico a la superficie que en un sistema rectangular de coordenadas se determina por la ecuación :

cuádricas

Esta figura se conoce con el nombre de silla de montar.
Cuando la ecuación anterior toma la forma :

cuádricas
cuádricas

la figura queda invertida.

Una cuádrica se llama degenerada cuando tiene por lo menos un punto singular. Un punto singular de una cuádrica es aquél para el que se anulan todos los coeficientes de la ecuación del plano tangente en dicho punto. Se tiene que si se anulan los coeficientes, toda recta que pase por dicho punto es tangente y, por lo tanto, no se puede hablar de plano tangente en dicho punto.
Una cuádrica degenerada pertenece, según tenga un punto singular propio o impropio a uno u otro (o ambos) de los dos tipos siguientes:

Conos cuádricos.- Llamamos cono cuádrico o cono de segundo orden a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por cualquiera de las ecuaciones:

cuádricas   ;    cuádricas   ;    cuádricas
cuádricas
cuádricas La ecuación :

cuádricas

determina un punto real único que es el (0,0,0) y recibe el nombre de ecuación del cono
imaginario.
El punto singular del cono cuádrico es su vértice.

Cilindros cuádricos.- Podemos considerar varios tipos de cilindros cuádricos según que sus secciones paralelas al plano generatriz sean elipses, hipérbolas o parábolas.
En el primer caso tenemos el cilindro elíptico de ecuación:

cuádricas

En el segundo caso se tiene el cilindro hiperbólico, de ecuación:

cuádricas
cuádricas
En el tercer caso se obtiene el cilindro parabólico dado por cualquiera de las ecuaciones:

cuádricas
 
cuádricas cuádricas
 

OTROS CONTENIDOS EN EL SITIO MATEMÁTICAS Y POESÍA

DEJANOS TUS COMENTARIOS Y SUGERENCIAS

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

MANUALES Y MONOGRAFIAS

En Matemáticas y Poesia agradecemos tu visita y nos gustaría tener un pequeño detalle contigo; si dejas un comentario en nuestro panel de evaluación diciendo que te ha gustado o no de alguna de las secciones que has visitado, participarás en el sorteo de un ejemplar del magnífico libro "Arte y Naturaleza", escrito (y dibujado) por el pintor, escultor y naturalista José Claudio Palma Arín y del que puedes leer y admirar algunas fichas entrando en nuestra tienda