Sabemos por [5] que cualquier número de la forma (1)
:
con p primo, es primo o únicamente tiene divisores de la
forma \( 2n·p + 1 \).
Si tenemos uno de tales números que resulte ser primo,
podemos analizar si alguna de las expresiones (2), (3) :
\((a+1)^p - a^p + 2 \quad ; \quad (a+1)^p - a^p - 2\)
es también un número primo, con lo que tendríamos
un par de primos gemelos.
Podemos hacer (4):
\((a+1) - a + 2 = 3 \equiv 3 \; (mod \; p) \)
Y aplicando el teorema de Euler, tendremos (5):
\((a+1)^p - a^p + 2 \equiv (a+1)- a+2\equiv 3 \; (mod \; p)
\)
por lo que resulta que dicha expresión será siempre
múltiplo de 3.
Así pues, si tratamos de localizar pares de primos gemelos
en los que uno de los componentes tenga la forma dada en (1),
el otro debe ser de la forma dada en (3).
En algunos casos es posible determinar a priori que un primo
de la forma (1) no es un componente de un par de primos gemelos.
Tenemos dos grupos diferenciados : p = 4n + 1 ; p = 4n - 1.
Si p = 4n + 1 , resulta (6) :
\((a+1)^p - a^p \equiv 1 \; (mod \; 10) \)
Y el número terminará en 1, tal como demostramos
a continuación. Para cualquier número a, queda
demostrado en [4] que (7):
\(a^p \equiv a \; (mod \; 10) \)
Por otro lado, si suponemos que (8):
\( (a+1)^{4n+1} - a^{4n+1} \equiv 1 \; (mod \; 10)\)
podemos hacer (9) :
\((a+1)^{4n+1} - a^{4n+1} = (a+1)(a+1)^{4n}- a·a^{4n}
\)
pero teniendo en cuenta (7), tenemos (10) :
\([(a+1)^5 - 10·\alpha](a+1)^{4n}- [a^5 - 10·\beta]a^{4n}\equiv
1 \; (mod \; 10) \)
y desarrollando y simplificando (11) :
\((a+1)^{4(n+1)+1}- a^{4(n+1)+1} \equiv 1 \; (mod \; 10) \)
por lo que, según la hipótesis de inducción,
hemos demostrado que se verifica (6).
Si p = 4n - 1 , tenemos la equivalencia : 4n-1 = 4(n-1)+3 =
(4n+1)-2 y considerando la ecuación (7), resulta (12)
:
\( a^5 \equiv a \; (mod \; 10) \rightarrow a^3 \equiv a^{-2}
\; (mod \; 10)\)
por lo que para conocer la última cifra de (3) solo hemos
de considerar 10 posibles casos. Tenemos (13) :
\((a+1)^3 - a^3 = 3a(a+1) + 1\)
y poniendo \(a = 10.A + b\), resulta (14) :
\( 3a(a+1) + 1 = 300·A^2 + 60·Ab + 30·A
+ 3b^2 + 3b + 1\)
por lo que, para cualquier número considerado, la terminación
de (14) en función de \(a\) y para \(p= 4n-1 \) será
:
b |
\(3b^2 + 3b + 1\) |
Unidad en 14 |
0 |
1 |
1 |
1 |
7 |
7 |
2 |
19 |
9 |
3 |
37 |
7 |
4 |
61 |
1 |
5 |
91 |
1 |
6 |
127 |
7 |
7 |
169 |
9 |
8 |
217 |
7 |
9 |
271 |
1 |
Vemos que la cifra de las unidades se repite de forma periódica
y ello nos permite saber a priori que para \(p= 4n-1 \), un número
como (3) será múltiplo de 5 en todos los casos en
que el número
a termine en 1;
3; 6 y 8 y, por consiguiente, no tendremos un par de primos gemelos.
En [5] se demuestra que si q es un factor de \( (a^p \pm b^p)
\) entonces se cumple (14):
\((k_1q + ma)^p \equiv (k_2q + ma)^p \; (mod \; q) \)
Y podemos aplicar este resultado para deducir que, una vez encontrado
un factor q de (1) o de (3), todos los números de la forma
(15) :
\((kq+a+1)^p - (kq+a)^p \;o\; (kq+a+1)^p - (kq+a)^p - 2 \)
respectivamente, serán compuestos.
Además tenemos, por un lado (16) :
\((a+1)^p - a^p = [(a+1)^p-1] - [a^p-1] \)
y, por otro (17) :
\((a+1)^p - a^p - 2 = [(a+1)^p-1] - [a^p+1] \)
y podemos aplicar lo visto en [6] para deducir situaciones en
las que (1) o (3) son números compuestos y, por lo tanto,
no forman parte de un par de primos gemelos.
Sabemos por [6] que cuando p es un número primo congruente
con 3 (mod 4), si \(2p+1=q\) es primo, entonces q divide a \(2^p
- 1\) .
Podemos deducir también, entre otros, los siguientes resultados
TEOREMA
Sea \(p=12n-1\) un número primo y \(q= 2n+1\); entonces,
si q es primo, divide a \(3^p - 1 \; y \; 2^p - 1 \) y, por lo tanto, divide
a \(3^p - 2^p \)
.
Demostración
Si \(p=12n-1\), entonces (18) :
\( p= 6(2n) - 1 \Rightarrow p\equiv 5\;(mod \; 6) \Rightarrow
2p+1 = q \equiv 11\;(mod \; 12)\)
y 3 es un residuo cuadrático módulo q, y se cumplirá
(19) :
\(3^{(q-1)/2} \equiv 1 \;(mod \; q) \Rightarrow 3^p - 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
Si \(p=12n-1\), entonces (20):
\(p= 4(3n) - 1 \Rightarrow p\equiv 3\;(mod \; 4) \Rightarrow
2p+1 = q \equiv 7\;(mod \; 8) \)
y 2 es un residuo cuadrático módulo q, y se cumplirá
(21) :
\(2^{(q-1)/2} \equiv 1 \;(mod \; q) \Rightarrow 2^p - 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
con lo que, restando (21) de (19), queda demostrado lo que nos
proponíamos.
TEOREMA
Sea \(p=12n+5\) un número primo y \(q= 2n+1\); entonces,
si q es primo, divide a \(3^p - 1 \; y \; 2^p + 1 \) y, por lo
tanto, divide a \(3^p - 2^p-2 \).
Demostración
Si \(p=12n+5\), entonces (22) :
\(\begin{array}{l}
p= 4(3n+1) + 1 \Rightarrow p\equiv 1\;(mod \; 4) \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow 2p+1 = q \equiv 3\;(mod \; 8)
\end{array} \)
y 2 es un NO residuo cuadrático módulo q, y se cumplirá
(23) :
\(2^{(q-1)/2} \equiv -1 \;(mod \; q) \Rightarrow 2^p + 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
Si \(p=12n+5\), entonces (24) :
\( \begin{array}{l}
p= 3(4n+1) + 2 \Rightarrow p\equiv 2\;(mod \; 3) \Rightarrow
\\
\\
\Rightarrow 2p+1 = q \equiv 5\;(mod \; 3) \equiv 2\;(mod \; 3) \equiv -1\;(mod \; 3)
\end{array}\)
y, de (18) resulta (25) :
\(q \equiv 3 \;(mod \; 8) \equiv 3 \;(mod \; 4)\equiv -1 \;(mod
\; 4) \)
con lo que obtenemos (26) :
\( \begin{array}{l}
\left.
\begin{array}{l}
q\equiv -1\; (mod \; 4)\Rightarrow q = 4x-1 \Rightarrow 3q =
12x-3 \\
\\
q\equiv -1\; (mod \; 3)\Rightarrow q = 3y-1 \Rightarrow 4q =
12y-4 \\
\end{array} \right\}\;\Rightarrow \\ \\
q=12(x-y)- 1 \Rightarrow q\equiv -1\; (mod \; 12)
\end{array} \)
y 3 es un residuo cuadrático módulo q, y se cumplirá
(27) :
\(3^{(q-1)/2} \equiv 1 \;(mod \; q) \Rightarrow 3^p - 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
con lo que, restando (23) de (27), queda demostrado lo que nos
proponíamos.
TEOREMA
Sea \(p=6n+5\) un número primo y \(q=2p+1\); entonces,
si q es primo, divide a \(4^p - 3^p \) .
Demostración
Si \(p=6n+5\), entonces (28):
\(p\equiv 5 \; (mod \; 6)\Rightarrow 2p+1= q \equiv 11 \; (mod
\; 12) \)
y 3 es un residuo cuadrático módulo q, y se cumplirá
(29) :
\(3^{(q-1)/2} \equiv 1 \;(mod \; q) \Rightarrow 3^p - 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
Por otro lado, 4 siempre es residuo cuadrático para todo
primo q > 3. De ese modo (30):
\(4^{(q-1)/2} \equiv 1 \;(mod \; q) \Rightarrow 4^p - 1\equiv
0 \;(mod \; q) \)
y restando (29) de (30) queda demostrado lo que nos proponíamos.
TEOREMA
No existen primos p y \(q=2p+1\) para los que se verifiquen las
expresiones (31), (32) :
\( \begin{array}{l} 4^p - 3^p - 2 \equiv 0 \; (mod \; q) \\
\\
5^p - 4^p - 2 \equiv 0 \; (mod \; q) \end{array}\)
Demostración
En el primer caso tenemos (33):
\(4^p - 3^p - 2 = (4^p - 1)-(3^p + 1)\)
y para que se verifique (31), deben cumplirse simultáneamente
(34) :
\(4^{(q-1)/2} \equiv 1 \; (mod \; q) \; ; \; 3^{(q-1)/2} \equiv
1 \; (mod \; q) \)
y esto ocurrirá si 4 es residuo cuadrático módulo
q y 3 es NO residuo cuadrático módulo q. Lo primero
se cumplirá para todo primo > 3, mientras que lo segundo
se cumplirá para aquellos primos q tales que (35) :
\(q \equiv \pm 5 \; (mod \; 12) \)
y tenemos
\(\displaystyle \begin{array}{l}
q = 12n+5 \Rightarrow p = \frac{q-1}{2}=\\ \\ = \frac{12n+5-1}{2}=
6n+2 = 2(3n+1) \\ \\ \\
q = 12n-5 \Rightarrow p = \frac{q-1}{2}=\\ \\ = \frac{12n-5-1}{2}=
6n-32 = 3(2n-1) \end{array} \)
y en ninguno de los dos casos p será un número primo.
TEOREMA
Para todo número impar, \( 2n+1 \), se cumple (36) :
\( \begin{array}{l}
Si\; 2n+1 = 4m+1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (n+1)^n - n^n
\equiv 0 \; (mod \; 2n+1) \\ \\ \\
Si\; 2n+1 = 4m-1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (n+1)^{n+1} -
n^{n+1} \equiv 0 \; (mod \; 2n+1)
\end{array}\)
Demostración
Se cumple trivialmente (37) :
\((n+1)^2 - n^2 \equiv 0 \; (mod \; 2n+1) \)
Y, según las propiedades de las congruencias (38):
\((n+1)^{2m} - n^{2m} \equiv 0 \; (mod \; 2n+1) \)
Ahora bien (39):
\(\begin{array}{l}
Si\; 2n+1 = 4m+1 \Rightarrow n=2m \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (n+1)^n -n^n \equiv
0 \; (mod \; 2n+1) \\
\\ \\
Si\; 2n+1 = 4m-1 \Rightarrow n+1 = 2m \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow(n+1)^{n+1}
- n^{n+1} \equiv 0 \; (mod \; 2n+1) \end{array} \)
y queda demostrado lo que nos proponíamos.
TEOREMA
Sea \( p=-1\; (mod \; 12) \) y p = 1 ó 3 (mod 5) un número
primo, y sea \( q=2p+1 \) ; entonces, si q es primo, divide a
\( 6^p- 5^p - 2\)
Demostración
Si \( p=-1\; (mod \; 12) \), tenemos (40) : \( q=2p+1=-1 \; (mod
\; 12) \) y, por lo tanto, 6 SI es residuo cuadrático módulo
q y se cumplirá (41) :
\(6^{(q-1)/2} \equiv 1 \; (mod \; q) \; ; \; 6^p-1 \equiv 0
\; (mod \; q) \)
Si y p = 1 ó 3 (mod 5), tenemos (42) :
\( p\equiv\;\left\{
\begin{array}{l}
1\; (mod \; 5)\Rightarrow q=2p+1 \equiv 3\; (mod \; 5) \\ \\
3\; (mod \; 5)\Rightarrow q=2p+1 \equiv 7\; (mod \; 5)\equiv
-3\; (mod \; 5) \\ \end{array} \right.\)
Y, por tanto, 5 NO es residuo cuadrático módulo
q y se cumplirá (43) :
\(5^{(q-1)/2} \equiv 1 \; (mod \; q) \; ; \; 5^p-1 \equiv 0
\; (mod \; q) \)
Restando (42) de (43) queda demostrado lo que nos proponíamos.
Miembros superiores de pares de primos gemelos son, por ejemplo
:
\(\begin{array}{l}
(2^3-1^3);(3^3-2^3);(5^3-4^3);(10^3-9^3);(1036^3-1035^3) \\
\\
(2^5-1^5); (6^5-5^5); (1057^5-1056^5) \\ \\
(10^7-9^7);(6^{13}-5^{13}); (4^{17}- 3^{17});(10^{19}- 9^{19});(8^{31}-
7^{31})
\end{array} \)
En la búsqueda de pares de primos gemelos, podemos también
intentar localizarlos en expresiones de la forma \(2·x^n
\pm 1\), donde x es un múltiplo de 3 pues, en otro caso,
como puede demostrarse sin dificultad, alguno de los dos elementos
de la pareja candidata será múltiplo de 3.
Si tomamos x = 6, tenemos \(Q= 2·6^n \pm 1\) y dicho valor
tampoco será múltiplo de 5 o de 7 ya que se cumple
:
\(2\times 6^n + 1 \equiv\left\{ \begin{array}{l}
2 \times (-1)^n + 1 \equiv \left\{ \begin{array}{c}
-1\; (mod \; 7) si\; n\; impar \\ \\ 3\; (mod \; 7) si\; n\;
par \\
\end{array} \right. \\ \\
2\times 1^n \equiv 3\; (mod \; 5) \\ \end{array} \right. \)
Si tomamos x = 15, resulta \(Q= 2·15^n \pm 1\) y Q no será
múltiplo de 3 ni de 5 o ni de 7.
Como ejemplos de primos gemelos de estas características
tenemos :
\(\begin{array}{l} 2\times 3^1 \pm 1\;; \; 2\times 3^2 \pm 1
\\ \\
2\times 6^1 \pm 1\;; \; 2\times 6^2 \pm 1\;; \; 2\times 6^3
\pm 1\;; \; 2\times 6^4 \pm 1 \\ \\
2\times 15^1 \pm 1\;; \;2\times 15^8 \pm 1\;; \;2\times 15^{10}
\pm 1\;; \;2\times 15^{20} \pm 1 \\ \\
2\times 21^1 \pm 1\;; \;2\times 21^2 \pm 1\;; \;2\times 21^3
\pm 1\;; \;2\times 21^4 \pm 1 \\ \\ 2\times 21^7 \pm 1\; ; \;
2\times 24^2 \pm 1\;; \; \\ \\
2\times 30^1 \pm 1\;; \; \end{array} \)
BIBLIOGRAFIA
1.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica
de números. Ed. Reverté
2.- E. Aparicio. Teoria de los números. Servicio Editorial
U.P.V.
3.- E. Bujalance, J.A. Bujalance, A.F. Costa y E. Martínez.
Elementos de Matemática discreta. Ed Sanz y Torres
4.- E. Bujalance, J.A. Bujalance, A.F. Costa y E. Martínez.
Problemas de Matemática discreta. Ed Sanz y Torres
5.- J. A. Hervás,
Caracterización
de los factores de la suma de dos monomios.
6.- J. A. Hervás,
Aplicaciones
de los residuos cuadráticos.
7.- J. A. Hervás, Estudio de las propiedades de divisibilidad
de ciertas expresiones numéricas.