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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

NOTAS SOBRE ALGUNOS PRIMOS ESPECIALES

NUMEROS ESPECIALES

En teoría de números existe una combinación de dígitos de la forma:

    \(k·2^n±1\qquad (1)\)
Que dan lugar a diversos tipos especiales de números de gran repercusión en teoría de números y que han sido estudiados a lo largo de la historia por eminentes matemáticos de toda clase de clase y condición o lo que en lenguaje actual diríamos profesionales y aficionados.
Así, por orden histórico, tenemos los llamados números de Mersenne
    \(2^n-1\qquad (2)\)

Que aparecen en relación con los números perfectos, estudiados hace más de 2000 años por el matemático y geómetra griego Euclides, quien encontró la fuerte relación que existe entre los números perfectos (número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos ) y los llamados números de Mersenne, pues demostró que se cumple:
    \(M = 2^{n-1} (2^n-1)\qquad (3)\)

Donde M es uno de los llamados números perfectos y el término \(2^n - 1\) siempre es un número primo que tiene la forma de un número de Mersenne. Por lo tanto los que se han estudiado con más profusión son los llamados primos de Mersenne de los cuales hasta la fecha y con ayuda de herramientas informáticas de última generación se ha encontrado el número \(M_{50}\):
    \(M_{50} = (2^{77232917} - 1)\qquad (4)\)

A lo largo de la historia se han descubierto diversas propiedades de los números de Mersenne. Así por ejemplo podemos hablar de los números primos de Germain que deben su nombre a la matemática francesa Marie-Sophie Germain, quien vivió entre los siglos XVIII y XIX y que se definen como sigue:
Un número primo p es un número primo de Sophie Germain si 2p+1 es también un número primo.
Sophie Germain demostró que el último teorema de Fermat era cierto para estos números, esto es que, si p es un número primo de estas características distinto a 2 entonces no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación:
    \(\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}\qquad (5)\)
Además, están relacionados con los números de Mersenne en el sentido de si en el número de Mersenne,
    \(M_p = 2^p - 1\)
p es un primo de Sophie Germain, entonces q= 2p+1 es divisor de Mp. Ejemplos:
    \(\begin{array}{l}
    p =11 \rightarrow q=2·p+1 = 23 \rightarrow M_p = 2^{11} -1 = 2047\\
    \\2047 = (2 \times 11 + 1)(2 \times2^2\times 11 + 1)= 23 · 89 \\
     \\\\ \\
    q = 23 \rightarrow r=2·q+1 = 47 \rightarrow M_q = 2^{23} -1 = 8388607\\
    \\8388607 = (2 · 23 + 1)( 2^4 · 5 · 23 · 97 + 1) = = 47 · 178481
    \end{array}\)
A continuación de los primos de Mersenne están los llamados números primos de Proth, de la forma:
    \(k·2^n+1\qquad (6)\)
Donde k es un número natural, n un entero positivo y 2n>k
Llamados así en honor al matemático FranÇois Proth. Hay diversa bibliografía y artículos sobre los números de Proth, concretamente en la búsqueda de números primos de Proth mediante el test basado en el teorema de Proth, que dice uno de los últimos en aparecer de entre las tinieblas es el número:
    \(19249 · 2^{13018586} + 1\)
hallado por el proyecto Seventeen or Bust. Posee 3918990 dígitos decimales y es el mayor primo conocido que no es de Mersenne.
Mención aparte debemos hacer con los números de Sierpinski (en honor de Waclaw Sierpinski, matemático polaco nacido en 1882).Un número de Sierpinski es un número natural impar k tal que los enteros de la forma \(k·2^n + 1\) son compuestos, para todo n número natural.

Si en la expresión (1) hacemos k=1, se obtienen los números de Fermat.
Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números. Este es un número primo de la forma:

    \(F_n= 2^{2^n} + 1\)
donde n es un número natural. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).
Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma:
    \(F_n= 2^{2^n} + 1\)
con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
    \(\begin{array}{l}
    F_5= 2^{2^5}+1= 2^{32}+1=4294967297= \\
     \\
    =(1+5·2^7 )·(1+ 2^7· 3 · 17449)=641 · 6700417
    \end{array}\)
4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.
Si en (1) hacemos k=n y si se obvia la restricción de la desigualdad, se obtienen los números de Cullen.
En la teoría de números, los números de la forma
    \(C_n = n·2^n+1\)
Son llamados números de Cullen y fueron estudiados por primera vez por James Cullen en 1905. Como hemos dicho al principio, estos números son un caso especial de los números de Proth.
Los números de Cullen cumplen algunas propiedades que no demostramos.
    n +1 = p es primo,p es divisor de \(C_n\)
    n +2 = p es divisor, p es divisor de \(C_n\)
Ejemplos:
    \( \begin{array}{l} C_n (n = 28) n+1 = 29 \Rightarrow C_n = C_{28}=28\times 2^{28} + 1 \textrm{ es múltiplo de } 29 \\  \\ C_n (n = 27) n+2 = 29 \Rightarrow C_n = C_{27}= 27\times 2^{27} + 1\textrm{ es múltiplo de } 29 \end{array} \)

Si para un primo p la expresión:

    \(\displaystyle q= \frac{(p+5)}{2}\)

es también primo, entonces es divisor de C(p+1).
Ejemplo, para los primos 1361, 1277, 1229, 1193, 1181, 1109 se cumple 683, 641, 617, 599, 593 y 557 son divisores de C(p+1).
Si para un primo p la expresión:

    \(\displaystyle q= \frac{(p+3)}{2}\)

es también primo entonces es divisor de C(p - 1).
Ejemplo, para los primos 1399, 1319, 1303, 1291, 1283, 1279 se cumple que 701, 661, 653, 647,643 y 641 son divisores de C(p - 1)
Teniendo en cuenta las propiedades vistas para \(C_n\), podemos hacer:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} [(p-1) 2^{(p-1)}+1]-[(p-2) 2^{(p-2)}+1]= \\
     \\=p·2^{(p-1)}-2^{(p-1)}+1-p·2^{(p-2)}+2^{(p-1)}-1= \\  \\ = p·2^{(p-1)} (1-\frac{1}{2})=p·2^{(p-1)}·\frac{1}{2}=p·2^{(p-2)} \end{array} \)
Casi todos los números de Cullen son compuestos como ha quedado de manifiesto. los únicos exponentes n, que se conocen, a los cuales corresponden números primos de Cullen \(C_n\) son:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, 6328548 (La Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros ).
Todavía, se conjetura que existen infinitos números primos de Cullen.

BIBLIOGRAFIA

1.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

2.- E. Aparicio. Teoria de los números. Servicio Editorial U.P.V.

3 .- J. A. Hervás, factores de la suma de dos monomios, caracterización.

4.- J. A. Hervás, residuos cuadráticos, aplicaciones.
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tema escrito por: José Antonio Hervás