DEMOSTRACIÓN
ELEMENTAL DE LA EXISTENCIA DE INFINITOS NÚMEROS PRIMOS
EN SUCESIONES NUMÉRICAS .
RESUMEN
Desde que Euclides obtuvo la primera demostración, allá
por el año 300 antes de Cristo, sabemos que existen infinitos
números primos.
Euclides utilizó magistralmente el denominado método
de reducción al absurdo por el cual suponemos que el
conjunto de números primos es finito: p(1), p(2), ...,
p(n) y a partir de él construimos el número M
= p(1).p(2). ... .p(n)+1.
Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto de
primos, y esto no puede ser. El absurdo proviene de suponer
que el conjunto de los números primos es finito.
Posteriormente , otros matemáticos han demostrado con
métodos diversos la infinitud de los números primos
en el conjunto de los números naturales y para conjuntos
de números comprendidos dentro de una determinada sucesión
numérica.
El resultado mas general e importante en este ámbito
fue dado por Dirichlet que estableció un teorema en el
que se definen las condiciones de existencia de números
primos en progresiones aritméticas [1].
A partir de varios resultados propios recogidos en [2] y [3]
vamos a demostrar de modo constructivo la existencia de infinitos
primos de la forma 2n·k + 1 o de la forma 2kp+1,
donde p es un número primo.
TEOREMA 1
Sea p un número primo. Existe una infinidad de primos
de la forma r = 2kp+1.
Demostración
En [2] se demuestra que, siendo p un número primo, todos
los factores primos de la expresión :
son de la forma : (2mp + 1).
Supongamos ahora que tenemos dos primos distintos cualesquiera
p y q. La aplicación del teorema principal de [2] a una
expresión de la forma :
nos permite escribir :
Estas dos expresiones son idénticamente iguales por lo
que para que se cumplan simultáneamente, deberemos tener
:
Naturalmente, cuando uno de los factores primos de x
p
- (x - 1)
p es igual a q o viceversa, el resultado
final queda afectado de acuerdo con lo dicho en el teorema principal
de [2].
La infinitud del número de primos de la forma 2k.p+1
se deduce sin mas que considerar distintos valores de q.
Tomando, por ejemplo p = 3 y considerando los tres siguientes
primos en:
tenemos para x = 2 y x = 3 los siguientes primos de la forma
2.k.(3.q) + 1 :
- 23*5 - 13*5 = 7 * 31 * 151 ; 151
= 2*5*(3*5) + 1
- 33*5 - 23*5 = 19 * 211 * 3571 ;
3571 = 2*7*17*(3*5) + 1
- 23*7 - 13*7 = 7² * 127
* 337 ; 337 = 2*2³*(3*7) + 1
- 33*7 - 23*7 = 19 * 29 * 43 * 71
* 6217 ; 43 = 2*(3*7) + 1 ; 6217 = 2*2²*37*(3*7)
+ 1
- 23*11 - 13*11 = 7 * 23 * 89 * 599479
; 599479 = 2*31*293*(3*11) + 1
Los factores no extendidos a la derecha son de la forma :
m = {xp - (x - 1)p} ;
n = {xq - (x - 1)q}
con p = 3 y q = 5 ; 7 ; 11 ;…
TEOREMA 2
Existe una infinidad de primos de la forma s = 2
n·k
+ 1 , siendo n y k números naturales.
Demostración
En [3] se demuestra el siguiente resultado: Si a y b son números
enteros, primos entre sí, se cumple que todos los factores
primos de

son
de la forma 2
n+1·k + 1 salvo cuando a y b son impares
en cuyo caso, también el 2 es un factor de dicha expresión.
Supongamos ahora que queremos descomponer en factores primos
una expresión de la forma:
siendo p un primo impar y n un número natural. Aplicando
el resultado principal de [2] tendremos :
Y aplicando el resultado principal de [3]:
Pero también:
Puesto que en todos los casos estamos considerando la misma
expresión, podemos concluir que ha de verificarse:
Cambiando el primo p llegamos al resultado que queríamos
demostrar. Claramente siempre podremos tomar nuevos primos sin
mas que considerar los obtenidos por aplicación del proceso
explicado.
Tenemos como ejemplos :
BIBLIOGRAFIA
1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría
analítica de números. Ed. Reverté
2.- Hervás, J. A., Caracterización de los factores
de la suma de dos potencias de un mismo número.
3.- Hervás, J. A., Factores primos de números
de Fermat y similares.
4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio
Editorial U.P.V.
5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de
los Números, Biblioteca Mondadori.
6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler
editores.