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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

NÚMEROS PRIMOS EN SUCESIONES

 

DEMOSTRACIÓN ELEMENTAL DE LA EXISTENCIA DE INFINITOS NÚMEROS PRIMOS EN SUCESIONES NUMÉRICAS

RESUMEN

Desde que Euclides obtuvo la primera demostración, allá por el año 300 antes de Cristo, sabemos que existen infinitos números primos.

Euclides utilizó magistralmente el denominado método de reducción al absurdo por el cual suponemos que el conjunto de números primos es finito: p(1), p(2), ..., p(n) y a partir de él construimos el número M = p(1).p(2). ... .p(n)+1.

Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto de primos, y esto no puede ser. El absurdo proviene de suponer que el conjunto de los números primos es finito.

Posteriormente , otros matemáticos han demostrado con métodos diversos la infinitud de los números primos en el conjunto de los números naturales y para conjuntos de números comprendidos dentro de una determinada sucesión numérica.

El resultado mas general e importante en este ámbito fue dado por Dirichlet que estableció un teorema en el que se definen las condiciones de existencia de números primos en progresiones aritméticas [1].

A partir de varios resultados propios recogidos en [2] y [3] vamos a demostrar de modo constructivo la existencia de infinitos primos de la forma \(2^nk·p+1\) o de la forma \(2kp+1\), donde p es un número primo.

TEOREMA 1

Sea p un número primo. Existe una infinidad de primos de la forma \(R = 2kp+1\).

Demostración

En [2] se demuestra que, siendo p un número primo, todos los factores primos de la expresión :
    \(x^p - (x-1)^p\)
son de la forma :\((2mp+1) \).

Supongamos ahora que tenemos dos primos distintos cualesquiera p y q. La aplicación del teorema principal de [2] a una expresión de la forma :
    \(x^{pq} - (x-1)^{pq}\)
nos permite escribir :
    \( \begin{array}{l}
    x^{pq} - (x-1)^{pq} = [x^p]^q - [(x-1)^p]^q = [x^p - (x-1)^p]\times \\ \textrm{ factores primos de la forma } 2k_qq +1 \\
    \\
    x^{pq} - (x-1)^{pq} = [x^q]^p - [(x-1)^q]^p = [x^q - (x-1)^q]\times \\ \textrm{ factores primos de la forma } 2k_pp +1
    \end{array}\)
Estas dos expresiones son idénticamente iguales por lo que para que se cumplan simultáneamente, deberemos tener :
    \(\begin{array}{l}
    x^{pq} - (x-1)^{pq} = [x^p]^q - [(x-1)^p]^q = [x^p - (x-1)^p]·[x^q - (x-1)^q] \\
    \\
    \times \textrm{ factores primos de la forma } 2k·p·q +1
    \end{array} \)
Naturalmente, cuando uno de los factores primos de \(x^p - (x-1)^p\) es igual a q o viceversa, el resultado final queda afectado de acuerdo con lo dicho en el teorema principal de [2].

La infinitud del número de primos de la forma \(2k·p+1\) se deduce sin mas que considerar distintos valores de q.

Tomando, por ejemplo p = 3 y considerando los tres siguientes primos en:
    h = {xp*q - (x - 1)p*q} \(x^{p*q} - (x-1)^{p*q}\)
tenemos para x = 2 y x = 3 los siguientes primos de la forma \(2.k.(3.q) + 1\) :
    \(\begin{array}{l} 2^{3*5} - 1^{3*5} = 7 * 31 * 151 \;;\; 151 = 2*5*(3*5) + 1 \\ \\ 3^{3*5} - 2^{3*5} = 19 * 211 * 3571\; ;\; 3571 = 2*7*17*(3*5) + 1 \\ \\ 2^{3*7} - 1^{3*7} = 7² * 127 * 337 \;;\; 337 = 2*2³*(3*7) + 1 \\ \\ 3^{3*7} - 2^{3*7} = 19 * 29 * 43 * 71 * 6217 \;;\; 43 = 2*(3*7) + 1 \\ 6217 = 2*2²*37*(3*7) + 1 \\ \\ 2^{3*11} - 1^{3*11} = 7 * 23 * 89 * 599479 \\ 599479 = 2*31*293*(3*11) + 1 \end{array}\)
Los factores no extendidos a la derecha son de la forma :
    \(m = \{x^p - (x - 1)^p\}\qquad ; \qquad n = \{x^q - (x - 1)^q\}\)
con p = 3 y q = 5 ; 7 ; 11 ;…

TEOREMA 2

Existe una infinidad de primos de la forma \(s = 2^nk·p+1\), siendo n y k números naturales.

Demostración

En [3] se demuestra el siguiente resultado: Si a y b son números enteros, primos entre sí, se cumple que todos los factores primos de \(a^{2^n} + b^{2^n}\) son de la forma \(2^{n+1}·k + 1\) salvo cuando a y b son impares en cuyo caso, también el 2 es un factor de dicha expresión.

Supongamos ahora que queremos descomponer en factores primos una expresión de la forma:
    \(a^{p+2^{n-1}} + b^{p+2^{n-1}} \)
siendo p un primo impar y n un número natural. Aplicando el resultado principal de [2] tendremos :
    \(\left( a^{p+2^{n-1}} + b^{p+2^{n-1}}\right) = \left(a^{+2^{n-1}}\right)^p + \left(b^{+2^{n-1}}\right)^p = \left(a^{2^{n-1}} + b^{2^{n-1}}\right)(2m·p + 1) \)
Y aplicando el resultado principal de [3]:
    \(\left( a^{p+2^{n-1}} + b^{p+2^{n-1}}\right) = \left(a^{+2^p}\right)^{n-1} + \left(b^{+2^p}\right)^{n-1} = 2^n·k + 1 \)
Pero también:
    \(\begin{array}{l} \left( a^{p+2^{n-1}} + b^{p+2^{n-1}}\right) = \left(a^{+2^{n-1}}\right)^p + \left(b^{+2^{n-1}}\right)^p = ) \\ \\ = \left(a^{2^{n-1}} + b^{2^{n-1}}\right)(2m·p + 1)= (2^n k' + 1)(2m·p + 1 \end{array}\)
Puesto que en todos los casos estamos considerando la misma expresión, podemos concluir que ha de verificarse:
    \(2m·p + 1 = 2^n m'·p + 1 \)
Cambiando el primo p llegamos al resultado que queríamos demostrar. Claramente siempre podremos tomar nuevos primos sin mas que considerar los obtenidos por aplicación del proceso explicado.

Tenemos como ejemplos :
    \(\begin{array}{l} 2^6 + 1 = (2^3)^2 + 1 = 5\times 13 = (1+2^2·1)(1+2^2·3) \\ \\ 2^{12} + 1 = (2^4)^3 + 1 = (2^3)^4 + 1 =\\ = 17\times 241 = (1+2^3·2)(1+2^3·3·5) \\ \\ 3^6 + 2^6 = (3^2)^3 + (2^2)^3 =\\= (3^3)^2 + (2^3)^2 = 13\times 61 = (1*2^2·3)(1+2^2·3·5 \\ \\ 3^{12} + 2^{12} = (3^4)^3 + (2^4)^3 = (3^3)^4 + (2^3)^4 =\\= 97\times 5521 = (1+2^3·2^2·3)(1+ 2^3·2·3·5·23) \end{array} \)

BIBLIOGRAFIA

1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

2.- Hervás, J. A., Caracterización de los factores de la suma de dos potencias de un mismo número.

3.- Hervás, J. A., Factores primos de números de Fermat y similares.

4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V.

5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori.

6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler editores.
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tema escrito por: José Antonio Hervás