DEMOSTRACIÓN
ELEMENTAL DE LA EXISTENCIA DE INFINITOS NÚMEROS PRIMOS EN DIVERSAS
SUCESIONES NUMÉRICAS .
RESUMEN
Desde que Euclides
obtuvo la primera demostración de ello allá por el año
300 antes de Cristo, sabemos que existen infinitos números primos.
Euclides utilizó magistralmente el denominado método de
reducción al absurdo por el cual suponemos que el conjunto de
números primos es finito: p(1), p(2), ..., p(n) y a partir de
él construimos el número M = p(1).p(2). ... .p(n)+1.
Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto de primos,
y esto no puede ser. El absurdo proviene de suponer que el conjunto
de los números primos es finito.
Posteriormente , otros matemáticos han demostrado con métodos
diversos la infinitud de los números primos en el conjunto de
los números naturales y para conjuntos de números comprendidos
dentro de una determinada sucesión numérica.
El resultado mas general e importante en este ámbito fue dado
por Dirichlet que estableció un teorema en el que se definen
las condiciones de existencia de números primos en progresiones
aritméticas [1].
A partir de varios resultados propios recogidos en [2] y [3] vamos a
demostrar de modo constructivo la existencia de infinitos primos de
la forma
o de la forma 2kp+1, donde p es un número primo.
TEOREMA
1
Sea p un número
primo. Existe una infinidad de primos de la forma r = 2kp+1.
Demostración
En [2] se demuestra
que, siendo p un número primo, todos los factores primos de la
expresión :

son de la forma : (2mp + 1).
Supongamos ahora que tenemos dos primos distintos cualesquiera p y q.
La aplicación del teorema principal de [2] a una expresión
de la forma :

nos permite escribir :

Estas dos expresiones son idénticamente iguales por lo que para
que se cumplan simultáneamente, deberemos tener :

Naturalmente, cuando uno de los factores primos de
es
igual a q o viceversa, el resultado final queda afectado de acuerdo
con lo dicho en el teorema principal de [2].
La infinitud del número de primos de la forma 2k.p+1 se deduce
sin mas que considerar distintos valores de q.
Tomando, por ejemplo p = 3 y considerando los tres siguientes primos
en:

tenemos para x = 2 y x = 3 los siguientes primos de la forma 2.k.(3.q)
+ 1 :
Los factores no extendidos
a la derecha son de la forma :
;
con p = 3 y q = 5 ; 7 ; 11 ;…
TEOREMA
2
Existe una infinidad
de primos de la forma
,
siendo n y k números naturales.
Demostración
En [3] se demuestra
el siguiente resultado: Si a y b son números enteros, primos
entre sí, se cumple que todos los factores primos de
son
de la forma
salvo
cuando a y b son impares en cuyo caso, también el 2 es un factor
de dicha expresión.
Supongamos ahora
que queremos descomponer en factores primos una expresión de
la forma:

siendo p un primo impar y n un número natural.
Aplicando el resultado principal de [2] tendremos :

Y aplicando el resultado principal de [3]:

Pero también:

Puesto que en todos los casos estamos considerando la misma expresión,
podemos concluir que ha de verificarse:

Cambiando el primo p llegamos al resultado que queríamos demostrar.
Claramente siempre podremos tomar nuevos primos sin mas que considerar
los obtenidos por aplicación del proceso explicado.
Tenemos como ejemplos :




BIBLIOGRAFIA
1.- Apóstol,
T.M. Introducción a la teoría analítica de números.
Ed. Reverté
2.- Hervás, J. A., Caracterización de los factores de
la suma de dos potencias de un mismo número.
3.- Hervás, J. A., Factores primos de números de Fermat
y similares.
4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial
U.P.V.
5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números,
Biblioteca Mondadori.
6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler
editores.