DEMOSTRACIÓN
ELEMENTAL DE LA EXISTENCIA DE INFINITOS NÚMEROS
PRIMOS EN DIVERSAS SUCESIONES NUMÉRICAS .
RESUMEN
Desde
que Euclides obtuvo la primera demostración de
ello allá por el año 300 antes de Cristo,
sabemos que existen infinitos números primos.
Euclides utilizó magistralmente el denominado
método de reducción al absurdo por el
cual suponemos que el conjunto de números primos
es finito: p(1), p(2), ..., p(n) y a partir de él
construimos el número M = p(1).p(2). ... .p(n)+1.
Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto
de primos, y esto no puede ser. El absurdo proviene
de suponer que el conjunto de los números primos
es finito.
Posteriormente , otros matemáticos han demostrado
con métodos diversos la infinitud de los números
primos en el conjunto de los números naturales
y para conjuntos de números comprendidos dentro
de una determinada sucesión numérica.
El resultado mas general e importante en este ámbito
fue dado por Dirichlet que estableció un teorema
en el que se definen las condiciones de existencia de
números primos en progresiones aritméticas
[1].
A partir de varios resultados propios recogidos en [2]
y [3] vamos a demostrar de modo constructivo la existencia
de infinitos primos de la forma
o de la forma 2kp+1, donde p es un número primo.
TEOREMA
1
Sea
p un número primo. Existe una infinidad de primos
de la forma r = 2kp+1.
Demostración
En
[2] se demuestra que, siendo p un número primo,
todos los factores primos de la expresión :
son
de la forma : (2mp + 1).
Supongamos ahora que tenemos dos primos distintos cualesquiera
p y q. La aplicación del teorema principal de
[2] a una expresión de la forma :

nos permite escribir :
Estas
dos expresiones son idénticamente iguales por
lo que para que se cumplan simultáneamente, deberemos
tener :
Naturalmente,
cuando uno de los factores primos de
es
igual a q o viceversa, el resultado final queda afectado
de acuerdo con lo dicho en el teorema principal de [2].
La infinitud del número de primos de la forma
2k.p+1 se deduce sin mas que considerar distintos valores
de q.
Tomando,
por ejemplo p = 3 y considerando los tres siguientes
primos en:
tenemos
para x = 2 y x = 3 los siguientes primos de la forma
2.k.(3.q) + 1 :
Los
factores no extendidos a la derecha son de la forma
:
;
con p = 3 y q = 5 ; 7 ; 11 ;…
TEOREMA
2
Existe
una infinidad de primos de la forma
,
siendo n y k números naturales.
Demostración
En
[3] se demuestra el siguiente resultado: Si a y b son
números enteros, primos entre sí, se cumple
que todos los factores primos de
son
de la forma
salvo
cuando a y b son impares en cuyo caso, también
el 2 es un factor de dicha expresión.
Supongamos
ahora que queremos descomponer en factores primos una
expresión de la forma:

siendo p un primo impar y n un número natural.
Aplicando el resultado principal de [2] tendremos :
Y
aplicando el resultado principal de [3]:
Pero
también:
Puesto
que en todos los casos estamos considerando la misma
expresión, podemos concluir que ha de verificarse:
Cambiando
el primo p llegamos al resultado que queríamos
demostrar. Claramente siempre podremos tomar nuevos
primos sin mas que considerar los obtenidos por aplicación
del proceso explicado.
Tenemos
como ejemplos :




BIBLIOGRAFIA
1.-
Apóstol, T.M. Introducción a la teoría
analítica de números. Ed. Reverté
2.- Hervás, J. A., Caracterización de
los factores de la suma de dos potencias de un mismo
número.
3.- Hervás, J. A., Factores primos de números
de Fermat y similares.
4.- Aparicio, E., Teoría de los Números,
Servicio Editorial U.P.V.
5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría
de los Números, Biblioteca Mondadori.
6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas,
DLS-Euler editores.