Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

MATRICES BISIMÉTRICAS

 

CARACTERIZACIÓN DE LAS MATRICES BISIMETRICAS


Definición de Matriz Bi simétrica


Sea M una matriz de dimensión n x n que puede subdividirse en bloques cuadrados de dimensión s x s para los que se cumple (1) :
    \( A_{i,j} = A_{n-i+1,n-j+1} \)
Es decir, que M es simétrica y persimétrica (simétrica para la diagonal inversa). Llamaremos a una matriz de estas características matriz bisimétrica.

TEOREMA

El polinomio característico de una matriz bisimétrica por bloques es sigma-reducible [1].

Demostración
Supongamos en primer lugar que M es de dimensión 2m.n x 2m.n y puede escribirse como en (2), donde cada Aij es de dimensión m x m y estructura arbitraria (2) .
    \( \left( \begin{array}{ccccc} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n-1} & A_{1,n} \\ A_{1,2} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,n-1} & A_{1,n-1} \\ . & . & \cdots & . & . \\ A_{1,n-1} & A_{2,n-1} & \cdots & A_{2,2} & A_{1,2} \\ A_{1,n} & A_{1,n-1} & \cdots & A_{1,2} & A_{1,1} \\ \end{array} \right) \)
Consideremos una matriz de permutación P, de la misma dimensión que M, en la que cada I ó 0, respectivamente, es una matriz unidad o nula, de dimensión m x m. (3)
    \( \left( \begin{array}{cccccc} I & 0 & 0 & . & . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & . & . & I \\ 0 & 0 & I & . & . & 0 \\ . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & . & I & 0 \\ 0 & I & 0 & . & . & 0\\ \end{array} \right) \)
Si transformamos la matriz M realizando sobre ella una transformación de semejanza mediante la matriz P, dejamos invariante su polinomio característico pero la convertimos en la matriz M1. (4)
    \(\left( \begin{array}{ccccc} A_{1,1} & A_{1,n} & \cdots & A_{1,n-1} & A_{1,2} \\ A_{1,n} & A_{1,1} & \cdots & A_{1,2} & A_{1,n-1} \\ . & . & \cdots & . & . \\ A_{1,n-1} & A_{1,2} & \cdots & A_{2,2} & A_{2,n-1} \\ A_{1,2} & A_{1,n-1} & \cdots & A_{2,n-1} & A_{2,2} \\ \end{array} \right) \)
Esta nueva matriz admite una transformación de semejanza del mismo tipo que la anterior pero con una matriz P que permute las filas 3 y n-3 .De ese modo, tras una serie de transformaciones de semejanza por matrices de permutación, llegamos a obtener una matriz simétrica por bloques que podemos escribir en la forma (5) :
    \( \left(
    \begin{array}{cccc}
    B_{1,1} & B_{1,2} & \cdots & B_{1,r} \\
    B_{1,2} & B_{2,2} & \cdots & . \\
    . & . & \cdots & . \\
    B_{1,r} & . & \cdots & B_{r,r} \\
    \end{array}
    \right)\)
y en la que cada bloque Bij , de dimensión 2m x 2m, tiene la forma (6)
    \(B_{ij}= \left( \begin{array}{cc} A_{p,p} & A_{p,q} \\ A_{p,q} & A_{p,p} \\ \end{array} \right) \)
Por lo tanto, la matriz Mk cumple las hipótesis del teorema 1 de [1], con (7)
    \(\sigma_{ij} = A_{p,q} + A_{p,p} \)
y ello nos permite concluir la demostración del teorema para el caso considerado.

Ejemplo 1 .- La matriz :
    \(\left( \begin{array}{cccc} A & B & C & D \\ B & E & F & C \\ C & F & E & B \\ D & C & B & A \\ \end{array} \right) \)
Es bisimétrica de dimensión 4m x 4m, donde m x m es la dimensión común de las submatrices que la forman. Naturalmente, si las submatrices que forman M son escalares, dicha matriz tendrá las propiedades características de una matriz simétrica y admite un polinomio característico de la forma :
    \( P(M)= P\left( \begin{array}{cc} A+D & C+D \\ C+B & E+F \\ \end{array} \right)·P\left( \begin{array}{cc} A-D & C-D \\ C-B & E-F \\ \end{array} \right) \)
Si la matriz M es de dimensión (2n-1)m x (2n-1)m pueden presentarse dos situaciones :
    1) Que se cumpla n = 2p , con p = 1,2,...
    2) Que se cumpla n = 2p-1 , con p = 1,2,...
En cualquiera de ellas podemos operar de modo análogo al descrito anteriormente, llegando al final a una matriz de la forma (8) :
    \( M_k = \left( \begin{array}{cc} A_{\sigma(2m)} & B \\ B^T & A_{jj} \\ \end{array} \right) \)
En la que Ajj es el bloque que ocupaba la posición central de las diagonales de la matriz original, y las B1 ,..., Bk son bloques que ocupaban posiciones en la fila o columna de Ajj.
Si ampliamos la matriz Mk en la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    A_{\sigma(2m)} & B & B \\
    B^T & A_{jj} & 0 \\
    0 & 0 & A_{jj} \\
    \end{array}
    \right) \)
Obtenemos una matriz que cumple las hipótesis del teorema 1 de [1] y de la que resultan dos polinomios del mismo grado (m.n), pero teniendo en cuenta que uno de ellos es múltiplo del polinomio característico de Ajj que tiene grado m.

Ejemplo 2 .- Las matrices siguientes, una de las cuales es bisimétrica
    \( \left( \begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\ B & F & G & H & D \\ C & G & I & G & C \\ D & H & G & F & B \\ E & D & C & B & A \\ \end{array} \right)\quad ; \quad \left( \begin{array}{ccccc} A & E & B & D & C \\ E & A & D & B & C \\ B & D & F & H & G \\ D & B & H & F & G \\ C & C & G & G & I \\ \end{array} \right) \)
son semejantes por permutaciones. La de la derecha admite una manipulación de la forma :
    \(\left( \begin{array}{cccccc} A & E & B & D & C & C\\ E & A & D & B & C & C\\ B & D & F & H & G & G \\ D & B & H & F & G & G \\ C & C & G & G & I & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & I \\ \end{array} \right) \)
Con lo que podemos aplicar el teorema 1 de [1] para obtener su polinomio característico a partir de los polinomios característicos de las matrices :
    \( \left( \begin{array}{ccc} A+E & B+D & 2C \\ B+D & F+H & 2G \\ C & G & I \\ \end{array} \right)\quad ; \quad \left( \begin{array}{ccc} A-E & B-D & 0 \\ B-D & F-H & 0 \\ 0 & 0 & I \\ \end{array} \right) \)
Las raices de la matriz I que aparecen en último lugar no deben considerarse en el cómputo final.

Ejemplo 3 .- Toda matriz de Toeplitz [2] simétrica es bisimétrica y, por lo tanto, sigma-reducible. Una de dimensión 5m, de la forma :
    \(\left( \begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\ B & A & B & C & D \\ C & B & A & B & C \\ D & C & B & A & B \\ E & D & C & B & A \\ \end{array} \right) \)
Puede transformarse por permutaciones en :
    \(\left(
    \begin{array}{ccccc}
    A & E & D & B & C \\
    E & A & B & D & C \\
    D & B & A & C & B \\
    B & D & C & A & B \\
    C & C & B & B & A \\
    \end{array}
    \right) \)
Para la que se tiene :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    A+E & B+D & 2C \\
    B+D & A+C & 2B \\
    C & B & A \\
    \end{array}
    \right)\quad ; \quad \left(
    \begin{array}{cc}
    A-E & D-B \\
    D-B & A-C \\
    \end{array}
    \right) \)
BIBLIOGRAFIA

Matrices sigma-reducibles, J. A. Hervás.
M. Fiedler, Special matrices and their applications..., Martinus Nijhoff Publshers.
R. Bellman, Introducción al análisis matricial, Ed Reverté.
Horn, Roger A., Matrix analysis, Ed Cambridge University Press.
żTe han sido de utilidad estos apuntes sobre las matrices bisimétricas?.- ˇRecomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:


 


tema escrito por: José Antonio Hervás