MATRICES BISIMETRICAS.

Definición 1Sea M una matriz de dimensión n x n que puede subdividirse en bloques cuadrados de dimensión s x s para los que se cumple (1) :
 
Es decir, que M es simétrica y persimétrica (simétrica para la diagonal inversa). Llamaremos a una matriz de estas características matriz bisimétrica.

TEOREMA

El polinomio característico de una matriz bisimétrica por bloques es sigma-reducible [1].

Demostración
Supongamos en primer lugar que M es de dimensión 2m.n x 2m.n y puede escribirse como en (2), donde cada A_ij es de dimensión m x m y estructura arbitraria (2) .

 

Consideremos una matriz de permutación P, de la misma dimensión que M, en la que cada I ó 0, respectivamente, es una matriz unidad o nula, de dimensión m x m. (3)
 
Si transformamos la matriz M realizando sobre ella una transformación de semejanza mediante la matriz P, dejamos invariante su polinomio característico pero la convertimos en la matriz M1. (4)
 
Esta nueva matriz admite una transformación de semejanza del mismo tipo que la anterior pero con una matriz P que permute las filas 3 y n-3 .De ese modo, tras una serie de transformaciones de semejanza por matrices de permutación, llegamos a obtener una matriz simétrica por bloques que podemos escribir en la forma (5) :
 
y en la que cada bloque B_ij , de dimensión 2m x 2m, tiene la forma (6)
 
Por lo tanto, la matriz M_k cumple las hipótesis del teorema 1 de [1], con (7)
 
y ello nos permite concluir la demostración del teorema para el caso considerado.

Ejemplo 1 .- La matriz :

Es bisimétrica de dimensión 4m x 4m, donde m x m es la dimensión común de las submatrices que la forman. Naturalmente, si las submatrices que forman M son escalares, dicha matriz tendrá las propiedades características de una matriz simétrica y admite un polinomio característico de la forma :

Si la matriz M es de dimensión (2n-1)m x (2n-1)m pueden presentarse dos situaciones :

1) Que se cumpla n = 2p , con p = 1,2,...
2) Que se cumpla n = 2p-1 , con p = 1,2,...

En cualquiera de ellas podemos operar de modo análogo al descrito anteriormente, llegando al final a una matriz de la forma (8) :
 
En la que A_jj es el bloque que ocupaba la posición central de las diagonales de la matriz original, y las B₁ ,..., B_k son bloques que ocupaban posiciones en la fila o columna de A_jj.
Si ampliamos la matriz M_k en la forma :


Obtenemos una matriz que cumple las hipótesis del teorema 1 de [1] y de la que resultan dos polinomios del mismo grado (m.n), pero teniendo en cuenta que uno de ellos es múltiplo del polinomio característico de A_jj que tiene grado m.

Ejemplo 2 .- Las matrices siguientes, una de las cuales es bisimétrica

son semejantes por permutaciones. La de la derecha admite una manipulación de la forma :

Con lo que podemos aplicar el teorema 1 de [1] para obtener su polinomio característico a partir de los polinomios característicos de las matrices :

Las raices de la matriz I que aparecen en último lugar no deben considerarse en el cómputo final.

Ejemplo 3 .- Toda matriz de Toeplitz [2] simétrica es bisimétrica y, por lo tanto, sigma-reducible. Una de dimensión 5m, de la forma :

Puede transformarse por permutaciones en :

Para la que se tiene :


BIBLIOGRAFIA

Matrices sigma-reducibles, J. A. Hervás.
M. Fiedler, Special matrices and their applications..., Martinus Nijhoff Publshers.
R. Bellman, Introducción al análisis matricial, Ed Reverté.
Horn, Roger A., Matrix analysis, Ed Cambridge University Press.