MATRICES
BISIMETRICAS.
Definición 1
Sea M una matriz de dimensión n x n que puede subdividirse
en bloques cuadrados de dimensión s x s para los que
se cumple (1) :
Es decir, que M es simétrica y persimétrica
(simétrica para la diagonal inversa). Llamaremos a
una matriz de estas características matriz bisimétrica.
TEOREMA
El polinomio característico de una matriz bisimétrica
por bloques es sigma-reducible [1].
Demostración
Supongamos en primer lugar que M es de dimensión 2m.n
x 2m.n y puede escribirse como en (2), donde cada A
ij
es de dimensión m x m y estructura arbitraria (2) .
Consideremos una matriz de permutación P, de la misma
dimensión que M, en la que cada I ó 0, respectivamente,
es una matriz unidad o nula, de dimensión m x m. (3)
Si transformamos la matriz M realizando sobre ella una transformación
de semejanza mediante la matriz P, dejamos invariante su polinomio
característico pero la convertimos en la matriz M1.
(4)
Esta nueva matriz admite una transformación de semejanza
del mismo tipo que la anterior pero con una matriz P que permute
las filas 3 y n-3 .De ese modo, tras una serie de transformaciones
de semejanza por matrices de permutación, llegamos
a obtener una matriz simétrica por bloques que podemos
escribir en la forma (5) :
y en la que cada bloque B
ij
, de dimensión 2m x 2m, tiene la forma (6)
Por lo tanto, la matriz M
k
cumple las hipótesis del teorema 1 de [1], con (7)
y ello nos permite concluir la demostración del teorema
para el caso considerado.
Ejemplo
1 .- La matriz :
Es bisimétrica de dimensión 4m x 4m, donde m
x m es la dimensión común de las submatrices
que la forman. Naturalmente, si las submatrices que forman
M son escalares, dicha matriz tendrá las propiedades
características de una matriz simétrica y admite
un polinomio característico de la forma :
Si la matriz M es de dimensión (2n-1)m x (2n-1)m pueden
presentarse dos situaciones :
1) Que se cumpla n = 2p , con p = 1,2,...
2) Que se cumpla n = 2p-1 , con p = 1,2,...
En cualquiera de ellas podemos operar de modo análogo
al descrito anteriormente, llegando al final a una matriz
de la forma (8) :
En la que Ajj es el bloque que ocupaba la posición
central de las diagonales de la matriz original, y las B1
,..., Bk son bloques que ocupaban posiciones en
la fila o columna de Ajj.
Si ampliamos la matriz Mk en la forma :
Obtenemos una matriz que cumple las hipótesis del teorema
1 de [1] y de la que resultan dos polinomios del mismo grado
(m.n), pero teniendo en cuenta que uno de ellos es múltiplo
del polinomio característico de Ajj que
tiene grado m.
Ejemplo 2 .- Las matrices siguientes,
una de las cuales es bisimétrica
son semejantes por permutaciones. La de la derecha admite
una manipulación de la forma :
Con lo que podemos aplicar el teorema 1 de [1] para obtener
su polinomio característico a partir de los polinomios
característicos de las matrices :
Las raices de la matriz I que aparecen en último lugar
no deben considerarse en el cómputo final.
Ejemplo 3 .- Toda matriz de Toeplitz
[2] simétrica es bisimétrica y, por lo tanto,
sigma-reducible. Una de dimensión 5m, de la forma :
Puede transformarse por permutaciones en :
Para la que se tiene :
BIBLIOGRAFIA
Matrices sigma-reducibles, J. A. Hervás.
M. Fiedler, Special matrices and their applications..., Martinus
Nijhoff Publshers.
R. Bellman, Introducción al análisis matricial,
Ed Reverté.
Horn, Roger A., Matrix analysis, Ed Cambridge University Press.
TEORÍA
MATRICIAL 