CARACTERIZACIÓN
DE LAS MATRICES BISIMETRICAS.
Definición de Matriz Bi simétrica
Sea M una matriz de dimensión n x n que puede subdividirse
en bloques cuadrados de dimensión s x s para los que se
cumple (1) :
Es decir, que M es simétrica y persimétrica (simétrica
para la diagonal inversa). Llamaremos a una matriz de estas características
matriz bisimétrica.
TEOREMA
El polinomio característico de una matriz bisimétrica
por bloques es sigma-reducible [1].
Demostración
Supongamos en primer lugar que M es de dimensión 2m.n x
2m.n y puede escribirse como en (2), donde cada A
ij
es de dimensión m x m y estructura arbitraria (2) .
Consideremos una matriz de permutación P, de la misma dimensión
que M, en la que cada I ó 0, respectivamente, es una matriz
unidad o nula, de dimensión m x m. (3)
Si transformamos la matriz M realizando sobre ella una transformación
de semejanza mediante la matriz P, dejamos invariante su polinomio
característico pero la convertimos en la matriz M1. (4)
Esta nueva matriz admite una transformación de semejanza
del mismo tipo que la anterior pero con una matriz P que permute
las filas 3 y n-3 .De ese modo, tras una serie de transformaciones
de semejanza por matrices de permutación, llegamos a obtener
una matriz simétrica por bloques que podemos escribir en
la forma (5) :
y en la que cada bloque B
ij , de dimensión 2m
x 2m, tiene la forma (6)
Por lo tanto, la matriz M
k cumple las hipótesis
del teorema 1 de [1], con (7)
y ello nos permite concluir la demostración del teorema
para el caso considerado.
Ejemplo 1 .- La matriz :
Es bisimétrica de dimensión 4m x 4m, donde m x m
es la dimensión común de las submatrices que la
forman. Naturalmente, si las submatrices que forman M son escalares,
dicha matriz tendrá las propiedades características
de una matriz simétrica y admite un polinomio característico
de la forma :
Si la matriz M es de dimensión (2n-1)m x (2n-1)m pueden
presentarse dos situaciones :
1) Que se cumpla n = 2p , con p = 1,2,...
2) Que se cumpla n = 2p-1 , con p = 1,2,...
En cualquiera de ellas podemos operar de modo análogo al
descrito anteriormente, llegando al final a una matriz de la forma
(8) :
En la que A
jj es el bloque que ocupaba la posición
central de las diagonales de la matriz original, y las B
1
,..., B
k son bloques que ocupaban posiciones en la
fila o columna de A
jj.
Si ampliamos la matriz M
k en la forma :
Obtenemos una matriz que cumple las hipótesis del teorema
1 de [1] y de la que resultan dos polinomios del mismo grado (m.n),
pero teniendo en cuenta que uno de ellos es múltiplo del
polinomio característico de A
jj que tiene grado
m.
Ejemplo 2 .- Las matrices siguientes,
una de las cuales es bisimétrica
son semejantes por permutaciones. La de la derecha admite una
manipulación de la forma :
Con lo que podemos aplicar el teorema 1 de [1] para obtener su
polinomio característico a partir de los polinomios característicos
de las matrices :
Las raices de la matriz I que aparecen en último lugar
no deben considerarse en el cómputo final.
Ejemplo 3 .- Toda matriz de Toeplitz
[2] simétrica es bisimétrica y, por lo tanto, sigma-reducible.
Una de dimensión 5m, de la forma :
Puede transformarse por permutaciones en :
Para la que se tiene :
BIBLIOGRAFIA
Matrices sigma-reducibles, J. A. Hervás.
M. Fiedler, Special matrices and their applications..., Martinus
Nijhoff Publshers.
R. Bellman, Introducción al análisis matricial,
Ed Reverté.
Horn, Roger A., Matrix analysis, Ed Cambridge University Press.