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MONOGRAFIAS - MATEMÁTICAS
 

MATRICES SIGMA-REDUCIBLES

Como paso inicial para caracterizar clases de matrices que pueden transformarse en matrices sigma, tenemos la siguiente definición :

Definición 1

Diremos que una matriz cuadrada tiene un polinomio característico sigma-reducible, si mediante transformaciones de semejanza elementales (permutaciones de filas y columnas), podemos transformar dicha matriz en una matriz sigma.

TEOREMA 1

Sea M una matriz de la forma (1) :

teoría matricial

Donde las teoría matricial son matrices sigma de grado r y dimensión mxm.

Se cumple que M es semejante a una matriz sigma para la que se tiene (2) :

teoría matricial

Y su polinomio característico puede escribirse como (3) :

teoría matricial

Siendo C una matriz compuesta de dimensión [(m-r)s x (m-r)s] de la forma (4) :

teoría matricial

Donde cada Cij y cada σij(r) se obtienen de aplicar el teorema 2 de [1] a cada submatriz .

Demostración.- Se trata tan solo de transformar la matriz M, mediante una matriz de permutación P, que actúa sobre sus filas como sigue :

teoría matricial

Siguiendo una pauta análoga se van colocando las r-segundas, ..., r-m-ésimas filas de cada fila matricial :

teoría matricial

La matriz que resulta de estas transformaciones es semejante a M y, claramente, es una matriz sigma.

Ejemplo .- Las matrices :

teoría matricial

Son semejantes por permutaciones y pueden descomponerse en :

teoría matricial

COROLARIO 1.

Siendo M una matriz n x n, que admite una partición en bloques que cumplen las siguientes propiedades :

a) Todos los bloques situados sobre la diagonal principal son matrices sigma del mismo orden aunque no necesariamente de la misma dimensión.

b) Todos los bloques fuera de la diagonal principal (que en general no serán matrices cuadradas) son matrices sigma rectangulares del mismo orden que los bloques diagonales.

Entonces M tiene un polinomio característico sigma-reducible.

Ejemplo .- Consideremos la matriz :

teoría matricial

descompuesta en los bloques señalados, y que cumple las condiciones impuestas.

Esta matriz puede ampliarse a :

teoría matricial

con lo que tenemos :

teoría matricial

Pero MA cumple las hipótesis del teorema 1 por lo que admite una descomposición en su polinomio característico, lo cual nos lleva a escribir para el de M :

teoría matricial

Definición 2.- Sea A una matriz cuadrada de dimensión n x n, con n = r.s, que puede escribirse en la forma (5) :

teoría matricial

Denotaremos por Ajj(r) a la matriz de dimensión (n-r)x(n-r) obtenida suprimiendo de A las submatrices de la fila j y la columna j. A dicha matriz la llamaremos j-ésimo menor principal de grado r, de A

El siguiente resultado nos permite determinar cierta clase de matrices que admiten ser transformadas en matrices sigma mediante manipulaciones matriciales sencillas.

TEOREMA 2

Sea A una matriz de orden n, con n = r.s. Si alguna de las matrices [Ajj(r)]T obtenidas de A tiene como matriz propia la (s-1)-upla (6) :

teoría matricial

Y cada Aji es no singular, entonces cada solución distinta, X(r), de la ecuación matricial (7) :

teoría matricial

Nos da, para la matriz A, un factor propio de grado r que puede escribirse en la forma (8) :

teoría matricial

Además, la matriz propia de AT asociada a cada factor propio es de la forma (9) :

teoría matricial

Demostración.- (en lo que sigue, y mientras no haya lugar a confusión, dejaremos de escribir el índice "r").

Puesto que ninguno de los Aji de la (s-1)-upla considerada es sin-gular, podemos transformar A en otra matriz semejante premultipli-cándola y postmultiplicándola, respectivamente, por una matriz r-diagonal (y su inversa) de la forma (10) :

teoría matricial

Con lo que resulta (11) :

teoría matricial

Considerando ahora la matriz Mjj tenemos que será de la forma (12) :

teoría matricial

Sumando entre si cada una de las columnas de submatrices de esta matriz, obtenemos (13) :

teoría matricial

O lo que es igual (14) :

teoría matricial

Es decir (15) :

teoría matricial

Pero hemos dicho que (Aj1 ... Ajs)T es una matriz propia de [Ajj]T por lo que todos los Bi serán iguales. En consecuencia, también serán iguales todas las sumas dadas por (13). Estas sumas se corresponden con todas las columnas de M salvo la j-ésima.

No obstante, y puesto que X no está determinada, podemos hacer que la columna j-ésima sume igual que las restantes. Para ello, se debe cumplir (16) :

teoría matricial

Cada matriz X que verifique esta ecuación permite que se cumplan las hipótesis del teorema 1 de [1] por lo que (17) :

teoría matricial

será una matriz propia de AT asociada al factor propio X+B.

Ejemplo - En una matriz de la forma :

teoría matricial

podemos hacer :

teoría matricial

por lo que su polinomio característico admite una descomposición en la forma :

teoría matricial

Algunos resultados obtenidos pueden relacionarse con el producto de Kronecker de dos matrices.

TEOREMA 3

Sea M una matriz cuadrada de dimensión n que puede escribirse en la forma (17) :

teoría matricial

Donde cada Aij es a su vez una matriz cuadrada de dimensión r (con n = r.m). Si todas las Aij poseen una matriz propia común, entonces la matriz (18) :

teoría matricial

en la que σij es el factor propio de Aij asociado a la matriz propia considerada, es un factor propio de M.

Demostración.- Sobre la hipótesis de que existe una matriz propia que es común a todas las Aij, podemos premultiplicar y postmultiplicar M por W y W-1, matrices r-diagonales con todas sus componentes iguales. Con esta operación aplicamos el teorema 1 a cada matriz Aij y de ese modo resulta una matriz del tipo dado en el teorema 1 y que verifica la hipótesis planteada.

COROLARIO 2

Si M es una matriz de la forma (19) :

teoría matricial

donde los Pij(.) son polinomios, entonces la matriz (20) :

teoría matricial

con λi siendo el valor propio i-ésimo de A, es una matriz propia de M.

Se puede deducir de ello que el producto de Kronecker de dos matrices [2] tiene como valores propios el producto de los valores propios de las matrices que lo componen ya que se tiene (21) :

teoría matricial

Que es una matriz de la forma anterior con Pij(A) monomios lineales.

En realidad, el resultado anterior nos permite decir que toda matriz M de la forma (22) :

teoría matricial

donde las Bi son matrices cuadradas m-dimensionales, en general distintas, y A una matriz cuadrada s-dimensional (para la que el superíndice i expresa potenciación), tiene s factores propios (distintos o confundidos) de la forma [3] (23) :

teoría matricial

Siendo λj el valor propio j-ésimo de A.

BIBLIOGRAFIA

Matrices sigma. J A Hervás

R. Bellman, Introducción al análisis matricial, pgs 250 y sgts. Ed Reverté

J. Williamson, Raices Características de una matriz de tipo especial

 

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