¿TENIA RAZÓN FERMAT?

INTRODUCCIÓN

Sin ninguna duda, de entre los diversos problemas matemáticos tratados por Fermat, el mas conocido de todos ellos es el que hasta su demostración por Andrew Wiles en 1995 era erróneamente conocido como “último teorema de Fermat”

Si n es un número entero mayor que 2 y si x, y, z son tres números enteros no nulos, entonces la ecuación carece de soluciones.

Para desesperación de numerosas generaciones de matemáticos profesionales y aficionados, Fermat añadió un comentario al enunciado escrito:

He obtenido una notable demostración del hecho anterior pero el margen del libro sobre el que estoy escribiendo es demasiado estrecho para contenerla.

Aun sin entrar a analizar la demostración de Wiles, tema para el que, por otra parte, no estamos capacitados, coincidimos con los que piensan que dicha demostración no tiene nada que ver con la que pudo motivar el comentario de Fermat.

En las líneas que siguen desarrollamos lo que podría haber sido una “demostración” del “último teorema de Fermat” que sólo hace uso de técnicas y herramientas matemáticas ya conocidas en la época en la que nuestro admirado genio vivió, si no fuera por un "pequeño" detalle que invitamos a encontrar.

Para nuestra exposición consideramos, por una parte que ya tenemos del propio Fermat una demostración del teorema para el caso n = 4 (en dicha demostración el autor hace uso de la técnica del descenso infinito, que el mismo inventó) y por otra, que para los números impares podemos restringirnos a los impares primos como puede demostrarse sin dificultad.

DESARROLLO

Sean a, b y c números enteros y p un primo impar no divisor de . Supongamos que se cumple :

(1)

Si ese es el caso, también se cumplirá trivialmente :

y (2)

Independientemente de lo anterior, se demuestra en [2] que con las hipótesis establecidas se verifica :

(3)

donde los dos factores del miembro de la derecha son primos entre sí.
Teniendo en cuenta (3), la ecuación (1) quedará :



con

(4)

Y análogamente :

(5)


(6)

Sumando las dos últimas ecuaciones resultará :

(7)

El término no es múltiplo de p, pues si así fuera tendríamos :

(8)

que es un resultado que está en contradicción con la hipótesis de que no es múltiplo de p, ya que es múltiplo de p, con p primo, si y solo si lo es .

En estas condiciones, si comparamos las ecuaciones (7) y (4), tendremos :

(9)

e igualando coeficientes de p :

(10)

Con lo que hemos llegado de nuevo a la ecuación (1) pero con valores estrictamente menores; como el proceso no puede continuar indefinidamente porque hemos dicho que a, b y c son números enteros, tenemos que concluir que la hipótesis de partida es errónea y, en consecuencia hemos demostrado que se cumple el enunciado de Fermat utilizando el método de “Descenso infinito”.

BIBLIOGRAFIA

1.- Ivorra Castillo, C. Teoría de Números. Libro electrónico.

2.- Hervás, J. A., Caracterización de los factores de la suma de dos potencias de un mismo número.

3.- A. Vera López y R. Esteban Romero. Ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V,

5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori,

6.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté