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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

¿DEMOSTRACIÓN ELEMENTAL DEL TEOREMA DE WILES - FERMAT?

 

¿TENIA RAZÓN FERMAT?

INTRODUCCIÓN

Sin ninguna duda, de entre los diversos problemas matemáticos tratados por ilustre matemático aficionado Pierre de Fermat, el mas conocido de todos ellos es el que hasta su demostración por Andrew Wiles en 1995 era erróneamente conocido como “último teorema de Fermat”
Si n es un número entero mayor que 2 y si x, y, z son tres números enteros no nulos, entonces la ecuación\(x^n + y^n = z^n\) carece de soluciones.
Para desesperación de numerosas generaciones de matemáticos profesionales y aficionados, Fermat añadió un comentario al enunciado escrito:
He obtenido una notable demostración del hecho anterior pero el margen del libro sobre el que estoy escribiendo es demasiado estrecho para contenerla.

Aun sin entrar a analizar la demostración de Wiles, tema para el que, por otra parte, no me siento capacitado, coincido con los que piensan que dicha demostración no tiene nada que ver con la que pudo motivar el comentario de Fermat.

En las líneas que siguen desarrollos lo que podría ser una “demostración” del “último teorema de Fermat” que sólo hace uso de técnicas y herramientas matemáticas ya conocidas en la época en la que nuestro admirado genio vivió, si no fuera por un "pequeño" detalle que invitamos a encontrar.

Para nuestra exposición consideraré, por una parte que ya tenemos del propio Fermat una demostraciˇn del teorema para el caso n = 4 (en dicha demostraciˇn el autor hace uso de la tÚcnica del descenso infinito, que el mismo inventˇ) y por otra, que para los números impares podemos restringirnos a los impares primos como puede demostrarse sin dificultad.

DESARROLLO

Sean a, b y c números enteros y p un primo impar no divisor de \( (a+b) \). Supongamos que se cumple :

    \(a^p + b^p = c^p\qquad (1)\)
Si ese es el caso, también se cumplirá trivialmente :
    \(c^p - b^p = a^p\quad y \quad c^p - a^p = b^p \quad(2)\)
Independientemente de lo anterior, se demuestra en [2] que con las hipótesis establecidas se verifica :
    \(a^p \pm b^p =(a\pm b)(2mp+1)\quad (3) \)
donde los dos factores del miembro de la derecha son primos entre sí.
Teniendo en cuenta (3), la ecuación (1) quedará :
    \( a^p + b^p =(a+ b)(2mp+1)= c^p = c_1^pĚc_2^2 \)
con
    \( a+b = c_1^2 \;y\; 2mp + 1 = c_2^2 \quad (4) \)
Y análogamente :
    \( \begin{array}{c}
    c^p - b^p = a^p = (c-b)(2hp+1) = a_1^p·a_2^p \quad (5) \\
    \\\\
    c^p - a^p = b^p = (c-a)(2kp+1) = b_1^p·b_2^p \quad (6)
    \end{array} \)
Sumando las dos últimas ecuaciones resultará :
    \( a^p + b^p = a_1^p(2hp+1)+ b_1^p(2kp+1)= 2(a_1^pĚh + b_1^pĚk)p + (a_1^p + b_1^p)\qquad (7) \)
El término \((a_1^p + b_1^p)\) no es múltiplo de p, pues si así fuera tendríamos :
    \(a^p + b^p = 2(a_1^p·h + b_1^p·k)p + p·f(a_1,b_1) =
    p[2(a_1^p·h + b_1^p·k) + f(a_1,b_1)]\quad (8) \)
que es un resultado que está en contradicción con la hipótesis de que \((a + b)\) no es múltiplo de p, ya que \((a_1^p + b_1^p)\) es múltiplo de p, con p primo, si y solo si \((a + b)\) lo es .

En estas condiciones, si comparamos las ecuaciones (7) y (4), tendremos :
    \( a^p + b^p = 2(a_1^pĚh + b_1^pĚk)p + (a_1^p + b_1^p) = 2(a+b)mĚp + (a+b) \quad (9) \)
e igualando coeficientes de p :
    \( a_1^p + b_1^p = (a+b) = c_1^p < a^p + b^p = c^p \quad (10) \)
Con lo que hemos llegado de nuevo a la ecuación (1) pero con valores estrictamente menores; como el proceso no puede continuar indefinidamente porque hemos dicho que a, b y c son números enteros, tenemos que concluir que la hipótesis de partida es errónea y, en consecuencia hemos demostrado que se cumple el enunciado de Fermat utilizando el método de “Descenso infinito”.

BIBLIOGRAFIA

1.- Ivorra Castillo, C. Teoría de Números. Libro electrónico.

2.- Hervás, J. A., Caracterización de los factores de la suma de dos potencias de un mismo número.

3.- A. Vera López y R. Esteban Romero. Ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V,

5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori,

6.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

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tema escrito por: José Antonio Hervás