ESTUDIO
DE LAS PROPIEDADES DE DIVISIBILIDAD DE CIERTAS EXPRESIONES
NUMERICAS.
INTRODUCCION
A lo largo de estas notas vamos a reflejar algunos resultados
particulares obtenidos en relación con la factorización
de expresiones de la forma (1):

DESARROLLO
Dentro de esta caracterización general entrarían
expresiones tales como (2):

que están relacionadas entre sí, como
vemos a continuación.
Supongamos que existen dos valores x e y, para el exponente
m, de (2) tales que (3):

Restando una expresión de la otra tenemos (4):

En general, a.bx no será múltiplo
de p, por lo que deberá serlo la expresión
entre corchetes. Por el teorema de Euler Fermat, sabemos
que existen números que cumplen lo anterior.
Aplicando la teoría de índices de raíces
primitivas [1], [2], podemos deducir que números
de la forma (3) son múltiplos de un primo dado.
A partir de (3), podemos poner (5):

Cuya solución, cuando (indg b , p-1)
= 1, viene dada por [2] (6) :

donde
es la función de Euler.
EJEMPLOS
Ver cuando es múltiplo de 17, 31 ó 47
la expresión (7) 2.5x + 1:
Tomando índices [1] para cada valor, resulta
(8) :

En el segundo caso no tenemos (a,m) = 1 si no (a,m)
= d = 10 y, de acuerdo con [2], como (d,b) (10,9) =
1, la congruencia no tiene solución.
En el tercer caso obtenemos la solución directamente
y en el primero es mas cómodo obtenerla dando
valores a la variable "y" en la expresión
:

En conclusión, la expresión (7) es múltiplo
de 17 cuando x = 16y + 2, no es múltiplo de 31
para ningún valor de x, y es múltiplo
de 47 cuando x = 46y + 5.
También podemos ver que (7) no puede ser simultáneamente
múltiplo de 17 y 47, pues en ese caso debería
cumplirse :

y, de acuerdo con la teoría de resolución
de ecuaciones diofánticas lineales [3] la ecuación
anterior no tiene solución en números
enteros.
Las propiedades de las congruencias nos permiten deducir
diversos criterios de divisibilidad :
TEOREMA
Si la expresión a.bn + k
es múltiplo de un primo p, entonces (10) :

para cualquier valor natural de m.
Demostración
Según el teorema de Euler Fermat, se cumple (11)
:

y, a partir de ahí (12) :

pero, teniendo en cuenta (9) resulta (13) :

En particular, si a.b + k = p , tenemos (14) :

Para la segunda ecuación de (10) el resultado
es trivial (15) :

Por ejemplo, para el primo 3, tenemos (16) :

TEOREMA
Si a divide a (p-1) se cumple (17) :

Demostración
Por el teorema del binomio y el teorema de Euler Fermat,
sabemos que se cumple (18):

Y sumando ambas expresiones, también podemos
poner (19) :

y, puesto que a divide a p-1, resulta (20) :

En particular, 2 siempre divide a p-1 y, por lo tanto
(21) :

TEOREMA
Para todo primo p
3 (mod 8) se cumple (22) :

Demostración
Para todo primo p
3
(mod 8), 2 es NO residuo cuadrático y se cumple
(23) :
Además, p+1 siempre es residuo cuadrático
módulo p y tendremos (24) :

Por lo tanto, multiplicando la ecuación final
de (23) por 2 y sumándole la ecuación
final de (22), llegamos al resultado que pretendíamos.
TEOREMA
Para todo primo p
1 (mod 8) se cumple (25) :

Demostración
Para todo primo p
1 (mod 8), 2 es residuo cuadrático y se cumple
(26) :

Además, p+1 siempre es residuo cuadrático
módulo p y tendremos (27) :

Por lo tanto, multiplicando la ecuación final
de (27) por 2 y restándole la ecuación
final de (26), llegamos al resultado que pretendíamos.
TEOREMA
Si p es un primo que tiene el mismo módulo respecto
a 4 y a 8, entonces se cumple (28) :

Demostración
Sólo podemos tener (29) :

En el primer caso, 2 y p-1 son residuos cuadráticos
módulo p y tendremos (30) :

Multiplicando la última ecuación por 2
y sumándole el resultado superior, nos queda
(31) :

En el segundo caso, 2 y p-1 son NO residuos cuadráticos
módulo p y se llega al mismo resultado.
TEOREMA
Si p es un primo que tiene distinto módulo respecto
a 4 y a 8, entonces se cumple (32) :

Demostración
Sólo podemos tener (33) :

Pues, en otros casos, como por ejemplo con los restos
1 y 3, se tendría (34) :

lo cual es, claramente, incompatible.
Así pues, En el primero de los casos válidos,
tendremos que 2 NO es residuo cuadrático módulo
p y p-1 SI es residuo cuadrático módulo
p y tendremos (35) :

Multiplicando la última ecuación por 2
y restándole el resultado superior, nos queda
(36) :

En el segundo de los casos válidos, tendremos
que 2 SI es residuo cuadrático módulo
p y p-1 NO es residuo cuadrático módulo
p y se llega al mismo resultado que el visto.
TEOREMA
Para todo entero positivo a y todo primo p, tales que
(a,p) = 1, se cumple (37) :

Demostración
Según el teorema de Euler Fermat tenemos (38)
:

y operando (39) :

pero el factor de la izquierda puede desarrollarse según
el teorema del binomio para dar (40) :

y sustituyendo (41) :

En particular, haciendo a = 2 (42):

y poniendo p-2 = q, con q primo (43) :

siendo p y q (p > q) primos gemelos.
También puede obtenerse sin dificultad la relación
(44) :

siendo p y q (p < q) primos gemelos.
TEOREMA
Toda expresión de la forma (45) :

es un número compuesto. Además, si a,
b y m son tales que (a,5) = (b,5) = (m,5) = 1, uno de
los factores resultantes es múltiplo de 5.
Demostración.
Es suficiente con desarrollar la expresión (46)
:

Cuyo desarrollo nos da el valor del enunciado, pero
de la que sabemos que se puede poner en la forma (47)
:

Recordando, además, que 4 = -1 (mod 5),
tendremos (48) :
y si se cumple (a,5) = (b,5) = (m,5) = 1, según
el teorema de Euler Fermat, la expresión anterior
es múltiplo de 5.
Los números de la forma (49) :

son subconjuntos de (45).
TEOREMA
Si p es un primo de la forma p = 2n+1, entonces p divide
a
sí
n = 0 ; 1 (mod 4) y p divide a
sí
n = 2 ; 3 (mod 4).
Así mismo, si p es un primo de la forma p = 2n-1,
entonces p divide a
sí
n = 0 ; 1 (mod 4) y p divide a
sí
n ( 2 ; 3 (mod 4).
Demostración.
Podemos considerar las siguientes equivalencias (50)
:

que, junto con las restricciones modulares impuestas,
nos permiten ver que lo expuesto en el desarrollo de
las ecuaciones (22), (25), (28) y (32) nos lleva a la
demostración de lo planteado.
EJEMPLOS.
2x04 - 1 = 07
04 ( 0 (mod 4)
2x044
- 1 múltiplo de 07
2x07 - 1 = 13
07 ( 3 (mod 4)
2x777 + 1 múltiplo de 13
2x09 - 1 = 17
09 ( 1 (mod 4)
2x099 - 1 múltiplo de 17
2x10 - 1 = 19
10 ( 2 (mod 4)
2x1010 + 1 múltiplo de 19
2x3 + 1 = 07
3 ( 3 (mod 4)
2x34 - 1 múltiplo de 07
2x5 + 1 = 11
5 ( 1 (mod 4)
2x56 + 1 múltiplo de 11
2x6 + 1 = 13
6 ( 2 (mod 4)
2x67 - 1 múltiplo de 13
2x8 + 1 = 17
8 ( 0 (mod 4)
2x89 + 1 múltiplo de 17
TEOREMA
Si q = 4n + 1 es primo, entonces
es
múltiplo de q.
Demostración.
Si n es impar, podemos escribir (51) :

pero tenemos (52) :

Por lo tanto, 2 es un NO residuo cuadrático módulo
q y se cumplirá (53) :

por lo qué sustituyendo en (51), tendremos (54)
:

Por otro lado, por definición (55) :

y, por lo tanto (56) :

Si n es par tenemos (57) :

pero, en este caso (58) :

y, por lo tanto, 2 es residuo cuadrático módulo
q y tendremos (59) : :

Con lo cual, sustituyendo en (57) y teniendo en cuenta
(55), resulta (60) :

y queda demostrado lo que nos proponíamos.
BIBLIOGRAFIA
1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría
analítica de números. Ed. Reverté.
2.- Aparicio, E., Teoría de los Números,
Servicio Editorial U.P.V.
3.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas de
matemática discreta, Ed A.V.L.
4.- J. A. Hervás. Criterios de Divisibilidad.
5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría
de los Números, Biblioteca Mondadori.
6.- J. A. Hervás, Aplicaciones de los residuos
cuadráticos.