Consideremos que \(y = F(x, C_1, C_2)\) es la ecuación explícita
de una familia de curvas dependientes de dos parámetros
\( C_1, C_2\) . Si F es derivable podemos formar el sistema:
\( y = F(x, C_1, C_2) \; ;\; y' = F'(x, C_1, C_2) \)
Si este sistema define \( C_1 \;y\; C_2\) como funciones
implícitas de \( x,y \;e\;y'\) , podremos inscribir:
\( C_1 = \varphi(x,y,y')\; ;\; C_2 = \psi(x,y,y')\qquad
(A) \)
Qué indica que cada curva de la familia vendrá
determinada por un \( x,y\) de ella y por la pendiente \(
y'\) de la tangente en él.
Volviendo a derivar la ecuación originaria obtenemos:
\( y" = F"(x, C_1, C_2) \)
Y sustituyendo en estas derivadas los valores de \( C_1
\;y\; C_2\) dados por (A) resulta:
Ecuación diferencial de segundo orden que satisfacen
todas las curvas de la familia \(F(x, C_1, C_2)\) y que
se llama ecuación diferencial de ésta.
Análogamente, si la ecuación de una familia
de curvas, dada de forma implícita por
Define a y como función uniforme implícita
y derivable de \( x, C_1 \;y\; C_2\), podemos hallar \(
y \;e\; y'\) derivando dos veces con respecto a x:
\( \begin{array}{l}
F=0\; ; \; F_x + F_y·y' = 0 \\
\\
F^{\:"}_x + 2F_{xy}y'+ F^{\:"}_y y'^2 + F'_y y"
= 0
\end{array}\)
Y eliminando directamente \( C_1 \;y\; C_2\) entre estas
tres ecuaciones, obtendremos en general una ecuación
diferencial de segundo orden de la forma:
Que llamaremos igualmente ecuación diferencial de
la familia de curvas dada, y esta se llamará familia
integral o integral general de la ecuación.
Cuando la ecuación diferencial viene con la \( y"\)
despejada la llamaremos normal.
Por lo visto, podemos decir qué la ecuación
diferencial de una familia de curvas dependientes de dos
parámetros es una ecuación que cumplen todas
las curvas de ella, y que se traduce en una propiedad simétrica
común, relativa a sus puntos y a los elementos diferenciales
de primero y segundo orden, es decir, relativa a la tangente
y a la curvatura.