MONOGRAFIA BÁSICA. ECUACIONES DE PLANOS Y RECTAS

Para determinar un plano se necesitan un punto P_o(x_o ,y_o ,z_o) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - x_o) + B(y - y_o) + C(z - z_o) = 0 A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

Donde D = -A.x_o - B.y_o - C.z_o

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:

B.y + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 ; z = Cte. Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Plano que pasa por dos puntos.- Siendo P_o , P₁ y P₂ tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:


Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:



Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

P_o = (a,0,0) ; P₁ = (0,b,0) ; P₂ = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

y desarrollando el determinante: b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c o, lo que es igual :

Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:



Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos de ecuaciones:



El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:



Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:



Cuando los planos son perpendiculares, se tiene y la ecuación (2) toma la forma:



o lo que es igual:

A₁.A₂ + B₁.B₂ + C₁.C₂ = 0

Ecuación general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuación que la determina toma la forma:



Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es:



Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuación viene dada en la forma:



A partir de la ecuación (3) podemos obtener la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :



Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:



Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.- El ángulo formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuación:



Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:



Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuación:

a₁.a₂ + b₁.b₂ + c₁.c₂ = 0

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.- Siendo, respectivamente:



Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector director de la recta lleva la misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto:

Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0

Perpendicularidad :