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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
PRÁCTICAS DE TEORÍA DE NÚMEROS

EJEMPLOS DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

 

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Proposición 1

Si se cumple :\( \alpha - \beta \equiv 0 [mod (a+b)] \) , entonces, la expresión :\( \alpha· a^{2n+1} + \beta· b^{2n+1} \) (14) es múltiplo de (a+b) para todo n natural.

Demostración

Sea (a+b) = c. Para cualquier número natural t podemos escribir t = r·a + s·b donde r y s son números naturales.

Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad, si t es múltiplo de c, se cumplirá que r-s también lo es. En esas condiciones podemos escribir :
    \(t_1 = \alpha· a^{2+1} + \beta· b^{2+1} = \alpha· a^2·a + \beta· b^2·b \)
y, por tanto :\( r_1=\alpha·a^2 \; ;\; s_1= \beta· b^2 \) , con lo cual :\( r_1 - s_1=\alpha·a^2 - \beta· b^2 = \alpha·a·a - \beta· b·b \)

y, a partir de ahí :
    \( r_2=\alpha·a \;;\; s_2 = -\beta· b \;\rightarrow \; r_2 - s_2 = \alpha·a + \beta·b \)
Pero teniendo en cuenta la hipótesis de partida, resulta :
    \(\alpha·a + \beta·b = [k(a+b)+\beta]a + \beta·b = (k·a+\beta)(a+b) \)
lo que significa que , para n = 1, la expresión considerada es múltiplo de c = (a+b).

Supongamos ahora que la expresión (14) es múltiplo de c para un valor dado de n; entonces :
    \(\alpha· a^{2(n+1)+1} + \beta· b^{2(n+1)+1} =\alpha· a^{2(n+1)}·a + \beta· b^{2(n+1)}·b \)
Y así :
    \(\alpha· a^{2(n+1)} - \beta· b^{2(n+1)} =\alpha· a^{2(n+1)}·a - \beta· b^{2(n+1)}·b \)
por lo que :
    \(\alpha· a^{2n+1} -(- \beta· b^{2n+1}) =\alpha· a^{2n+1} - \beta· b^{2n+1} \)
y, por la hipótesis de inducción, queda demostrado lo que nos proponíamos.

Corolario

La expresión :\( \alpha·a^{2p(2n+1)}+ \beta·b^{2p(2n+1)} \) es múltiplo de \( a^{2p}+ b^{2p} \) cuando se verifica que : \( \alpha - \beta \equiv 0 [mod (a^{2p}+ b^{2p})] \)

EJEMPLO 2 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Para la expresión :[2] \( 2^{70}+ 3^{70}= 2^{2·35}+ 3^{2·35} \) se cumple lo dicho, por lo que podemos decir que es múltiplo de 13.

Proposición 2

Si se cumple : \( \alpha-\beta \equiv 0 [mod (a-b)] \) entonces, la expresión :\( \alpha·a^n- \beta·b^n \) (27) es múltiplo de \((a-b)\) para todo n natural.

Demostración

Por el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad, cualquier número de la forma c = r·a - s·b será múltiplo de \((a-b)\) si lo es \((r+s)\).

Para n = 1 y teniendo en cuenta la hipótesis de partida, podemos escribir :
    \(\alpha·a - \beta·b = [k(a-b)+\beta]a - \beta·b = (k·a+\beta)(a-b) \)
Sea ahora n un número par. Para la expresión (27) tenemos :
    \(\alpha·a^{2p} - \beta·b^{2p} = [\beta + k(a-b)]a^{2p} - \beta·b^{2p} \)
y desarrollando :
    \(\beta·a^{2p}+ k(a-b)a^{2p} -\beta·b^{2p} = \beta(a^{2p}- b^{2p}) + k(a-b)a^{2p} \)
Pero se cumple :
    \(\beta\left(a^{2p} - b^{2p}\right) = \beta(a^p - b^p)(a^p + b^p) \)
por lo que, para n par, la expresión (27) será múltiplo de \((a-b)\) si lo es para n impar.

Sea entonces n = 2p+1 y supongamos que :
    \(\alpha·a^{2p+1} - \beta·b^{2p+1} \)
es múltiplo de \((a-b)\). Tenemos :
    \(\alpha·a^{2(p+1)+1} - \beta·b^{(2p+1)+1} = \alpha·a^{2(p+1)}·a - \beta·b^{(2p+1)}·b \)
La anterior expresión será múltiplo de \((a-b)\) si lo es
    \(\alpha·a^{2(p+1)} - \beta·b^{(2p+1)}= \alpha·a^{2p+1}·a - \beta·b^{2p+1}·b \)
que, a su vez, lo será si lo es :
    \(\alpha·a^{2p+1} - \beta·b^{2p+1} \)
pero, por la hipótesis de inducción, sabemos que ello es cierto, por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.

EJEMPLO 3 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] : \( 3\times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} \) es múltiplo de 17 para todo n natural, ya que se tiene :
    \(3\times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 3\times 5\times (5^2)^n + 2\times(2^3)^n = 15\times 25^n - (-2)\times 8^n \)
y como se cumple : 15 - (-2) = 17 ; 25 - 8 = 17, resulta lo dicho.

EJEMPLO 4 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] :\( 3^{4n+2} + 5^{2n+1} \) es múltiplo de 14 para todo n natural, ya que se tiene :
    \(3^{4n+2} + 5^{2n+1} = 3^{2(2n+1)} + 5^{2n+1} = 9^{2n+1} + 5^{2n+1} \)
y puesto que 9+5 = 14, tenemos lo dicho.

EJEMPLO 5 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] :\( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \) es múltiplo de 11 para todo n natural, ya que se tiene :
    \(\displaystyle 3^{2n+2} + 2^{6n+1} = 3 \times 3^{2n+1} + \frac{1}{4}2^{6n+3} = N \)
y quitando el denominador :
    \(4 \times 3 \times 3^{2n+1} + 1 \times 2^{6n+3} = 4 \times N = 12 \times 3^{2n+1} + 8^{2n+1}\)
con lo que resulta :
    \(\alpha - \beta = 12 - 1 = 11 \; ;\; a+b = 3+8 = 11 \)
y hemos demostrado lo que queríamos.

EJEMPLO 6 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión \( 2^{3n} + 6^{2n+1} \) es múltiplo de 7 para todo n natural, ya que se tiene :
    \(2^{3n} + 6^{2n+1}+1-1 = (2^{3n}- 1^{3n}) + (6^{2n+1}+ 1^{2n+1})\)
y cada uno de los sumandos obtenidos es múltiplo de 7.

EJEMPLO 7 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Para demostrar que se cumple : (37)
    \(5·n^3 + 7·n^5 \equiv 0 (mod \;12) \)
para todo n entero [3], podemos considerar un número de la forma :
    5·r + 7·s
con lo que tendremos : 12 = 5 + 7 = 5.1 + 7.1

Y, por tanto, (37) será múltiplo de 12 si lo es (r-s). Tenemos (38)
    \(r-s = n^5 - n^3 = n^3(n^2-1)\)
y (37) se verificará si (38) es múltiplo de 12.

Si n es par, tenemos :
    \(n^3(n^2-1)= (2^ap)^3[(2^ap)^2-1]= 2^{3a}·p^3[2^{2a}·p^2 - 1]\)
Está claro que el término fuera del corchete es múltiplo de 4 para cualquier valor de a y p (siendo p primo).

El término de dentro del corchete se puede poner :\( p^2·4^a - 1 \) y su valor será múltiplo de 3 si lo es p² - 1; pero ello es cierto según el teorema de Euler-Fermat.

Si n es impar, entonces el término entre paréntesis de (38) es múltiplo de 12 ya que, por una parte, es múltiplo de 3 según sabemos por el teorema de Euler-Fermat y, por otra, se puede poner en la forma :
    \(n^2 - 1 = (n+1)(n-1)\)
y cada uno de los factores resultantes es par.

EJEMPLO 8 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión \( n^4 - 4^m·n^2 \) es divisible por 3 para cualesquiera m y n enteros. Para ver que ello es así, aplicamos lo visto en párrafos anteriores. Tenemos
    \(n^4 - 4^m·n^2 = r·4^m - s·1\)
y la divisibilidad dependerá de que (r-s) sea múltiplo de 3. resulta :
    \(r-s = n^4 - n^2 = n(n-1)n(n+1)\)
Y, evidentemente, para cualquier valor de n, alguno de los números (n-1), n, (n+1) es múltiplo de 3.

EJEMPLO 9 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión \( 23^{3n+2}- 7n + 4 \) [4] no es múltiplo de 7. Para verlo, tenemos que 7n siempre es múltiplo de 7, por lo que si la expresión dada no lo es, debemos aplicar lo dicho a :\( 23^{3n+2} + 4 \)

y tenemos :
    \(23^{3n+2} + 4 = 23^2(23^3)^n - (-3)·1 + 1 \)
La expresión \(23^2(23^3)^n - (-3)·1\) siempre es múltiplo de 7 puesto que tenemos :
    \( \begin{array}{l} 23^2 - (-3) = 532 = 76 \times 7 \\ \\ 23^3 - 1 = 12166 = 1738 \times 7 \end{array} \)
En consecuencia, por no ser 1 multiplo de 7, no lo será la expresión inicial.

EJEMPLO 10 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión \(4^{2n+1} + 3^{n+2}\) [4] es múltiplo de 13 para cualquier n entero. Tenemos :
    \(4^{2n+1} + 3^{n+2} = 4·4^{2n} + 9·3^n = 4·16^n - (-9)·3^n\)
y como se verifica que : 16 - 3 = 13 ; 4 - (-9) = 13,

queda demostrado lo dicho.

BIBLIOGRAFIA

1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.

2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez. Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.
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tema escrito por: José Antonio Hervás