EJEMPLOS
DE APLICACIÓN DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Proposición 1
Si se cumple :\( \alpha - \beta \equiv 0 [mod (a+b)] \) , entonces,
la expresión :\( \alpha· a^{2n+1} + \beta·
b^{2n+1} \) (14) es múltiplo de (a+b) para todo n natural.
Demostración
Sea (a+b) = c. Para cualquier número natural t podemos
escribir t = r·a + s·b donde r y s son números
naturales.
Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios
de divisibilidad, si t es múltiplo de c, se cumplirá
que r-s también lo es. En esas condiciones podemos escribir
:
\(t_1 = \alpha· a^{2+1} + \beta· b^{2+1} = \alpha· a^2·a + \beta· b^2·b \)
y, por tanto :\( r_1=\alpha·a^2 \; ;\; s_1= \beta·
b^2 \) , con lo cual :\( r_1 - s_1=\alpha·a^2 - \beta·
b^2 = \alpha·a·a - \beta· b·b \)
y, a partir de ahí :
\( r_2=\alpha·a \;;\; s_2 =
-\beta· b \;\rightarrow \; r_2 - s_2 = \alpha·a
+ \beta·b \)
Pero teniendo en cuenta la hipótesis de partida, resulta
:
\(\alpha·a + \beta·b = [k(a+b)+\beta]a + \beta·b = (k·a+\beta)(a+b) \)
lo que significa que , para n = 1, la expresión considerada
es múltiplo de c = (a+b).
Supongamos ahora que la expresión (14) es múltiplo
de c para un valor dado de n; entonces :
\(\alpha· a^{2(n+1)+1} + \beta· b^{2(n+1)+1} =\alpha· a^{2(n+1)}·a + \beta· b^{2(n+1)}·b \)
Y así :
\(\alpha· a^{2(n+1)} - \beta· b^{2(n+1)} =\alpha·
a^{2(n+1)}·a - \beta· b^{2(n+1)}·b \)
por lo que :
\(\alpha· a^{2n+1} -(- \beta· b^{2n+1}) =\alpha·
a^{2n+1} - \beta· b^{2n+1} \)
y, por la hipótesis de inducción, queda demostrado
lo que nos proponíamos.
Corolario
La expresión :\( \alpha·a^{2p(2n+1)}+ \beta·b^{2p(2n+1)}
\) es múltiplo de \( a^{2p}+ b^{2p} \) cuando se verifica
que : \( \alpha - \beta \equiv 0 [mod (a^{2p}+ b^{2p})] \)
EJEMPLO 2 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Para la expresión :[2] \( 2^{70}+ 3^{70}= 2^{2·35}+
3^{2·35} \) se cumple lo dicho, por lo que podemos decir
que es múltiplo de 13.
Proposición 2
Si se cumple : \( \alpha-\beta \equiv 0 [mod (a-b)] \) entonces,
la expresión :\( \alpha·a^n- \beta·b^n \)
(27) es múltiplo de \((a-b)\) para todo n natural.
Demostración
Por el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad,
cualquier número de la forma c = r·a - s·b
será múltiplo de \((a-b)\) si lo es \((r+s)\).
Para n = 1 y teniendo en cuenta la hipótesis de partida,
podemos escribir :
\(\alpha·a - \beta·b = [k(a-b)+\beta]a - \beta·b
= (k·a+\beta)(a-b) \)
Sea ahora n un número par. Para la expresión (27)
tenemos :
\(\alpha·a^{2p} - \beta·b^{2p} = [\beta + k(a-b)]a^{2p}
- \beta·b^{2p} \)
y desarrollando :
\(\beta·a^{2p}+ k(a-b)a^{2p} -\beta·b^{2p} = \beta(a^{2p}-
b^{2p}) + k(a-b)a^{2p} \)
Pero se cumple :
\(\beta\left(a^{2p} - b^{2p}\right) = \beta(a^p - b^p)(a^p +
b^p) \)
por lo que, para n par, la expresión (27) será múltiplo
de \((a-b)\) si lo es para n impar.
Sea entonces n = 2p+1 y supongamos que :
\(\alpha·a^{2p+1} - \beta·b^{2p+1} \)
es múltiplo de \((a-b)\). Tenemos :
\(\alpha·a^{2(p+1)+1} - \beta·b^{(2p+1)+1} = \alpha·a^{2(p+1)}·a - \beta·b^{(2p+1)}·b \)
La anterior expresión será múltiplo de \((a-b)\)
si lo es
\(\alpha·a^{2(p+1)} - \beta·b^{(2p+1)}= \alpha·a^{2p+1}·a - \beta·b^{2p+1}·b \)
que, a su vez, lo será si lo es :
\(\alpha·a^{2p+1} - \beta·b^{2p+1} \)
pero, por la hipótesis de inducción, sabemos que
ello es cierto, por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.
EJEMPLO 3 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] : \( 3\times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} \) es
múltiplo de 17 para todo n natural, ya que se tiene :
\(3\times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 3\times 5\times (5^2)^n + 2\times(2^3)^n
= 15\times 25^n - (-2)\times 8^n \)
y como se cumple : 15 - (-2) = 17 ; 25 - 8 = 17, resulta lo dicho.
EJEMPLO 4 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] :\( 3^{4n+2} + 5^{2n+1} \) es múltiplo
de 14 para todo n natural, ya que se tiene :
\(3^{4n+2} + 5^{2n+1} = 3^{2(2n+1)} + 5^{2n+1} = 9^{2n+1} + 5^{2n+1} \)
y puesto que 9+5 = 14, tenemos lo dicho.
EJEMPLO 5 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] :\( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \) es múltiplo
de 11 para todo n natural, ya que se tiene :
\(\displaystyle 3^{2n+2} + 2^{6n+1} = 3 \times 3^{2n+1} + \frac{1}{4}2^{6n+3}
= N \)
y quitando el denominador :
\(4 \times 3 \times 3^{2n+1} + 1 \times 2^{6n+3} = 4 \times
N = 12 \times 3^{2n+1} + 8^{2n+1}\)
con lo que resulta :
\(\alpha - \beta = 12 - 1 = 11 \; ;\; a+b = 3+8 = 11 \)
y hemos demostrado lo que queríamos.
EJEMPLO 6 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión \( 2^{3n} + 6^{2n+1} \) es múltiplo
de 7 para todo n natural, ya que se tiene :
\(2^{3n} + 6^{2n+1}+1-1 = (2^{3n}- 1^{3n}) + (6^{2n+1}+ 1^{2n+1})\)
y cada uno de los sumandos obtenidos es múltiplo de 7.
EJEMPLO 7 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Para demostrar que se cumple : (37)
\(5·n^3 + 7·n^5 \equiv 0 (mod \;12) \)
para todo n entero [3], podemos considerar un número de
la forma :
con lo que tendremos : 12 = 5 + 7 = 5.1 + 7.1
Y, por tanto, (37) será múltiplo de 12 si lo es
(r-s). Tenemos (38)
\(r-s = n^5 - n^3 = n^3(n^2-1)\)
y (37) se verificará si (38) es múltiplo de 12.
Si n es par, tenemos :
\(n^3(n^2-1)= (2^ap)^3[(2^ap)^2-1]= 2^{3a}·p^3[2^{2a}·p^2
- 1]\)
Está claro que el término fuera del corchete es
múltiplo de 4 para cualquier valor de a y p (siendo p primo).
El término de dentro del corchete se puede poner :\( p^2·4^a
- 1 \) y su valor será múltiplo de 3 si lo es p²
- 1; pero ello es cierto según el teorema de Euler-Fermat.
Si n es impar, entonces el término entre paréntesis
de (38) es múltiplo de 12 ya que, por una parte, es múltiplo
de 3 según sabemos por el teorema de Euler-Fermat y, por
otra, se puede poner en la forma :
y cada uno de los factores resultantes es par.
EJEMPLO 8 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión \( n^4 - 4^m·n^2 \) es divisible por
3 para cualesquiera m y n enteros. Para ver que ello es así,
aplicamos lo visto en párrafos anteriores. Tenemos
\(n^4 - 4^m·n^2 = r·4^m - s·1\)
y la divisibilidad dependerá de que (r-s) sea múltiplo
de 3. resulta :
\(r-s = n^4 - n^2 = n(n-1)n(n+1)\)
Y, evidentemente, para cualquier valor de n, alguno de los números
(n-1), n, (n+1) es múltiplo de 3.
EJEMPLO 9 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión \( 23^{3n+2}- 7n + 4 \) [4] no es múltiplo
de 7. Para verlo, tenemos que 7n siempre es múltiplo de
7, por lo que si la expresión dada no lo es, debemos aplicar
lo dicho a :\( 23^{3n+2} + 4 \)
y tenemos :
\(23^{3n+2} + 4 = 23^2(23^3)^n - (-3)·1 + 1 \)
La expresión \(23^2(23^3)^n - (-3)·1\) siempre es
múltiplo de 7 puesto que tenemos :
\( \begin{array}{l}
23^2 - (-3) = 532 = 76 \times 7 \\
\\
23^3 - 1 = 12166 = 1738 \times 7
\end{array} \)
En consecuencia, por no ser 1 multiplo de 7, no lo será
la expresión inicial.
EJEMPLO 10 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión \(4^{2n+1} + 3^{n+2}\) [4] es múltiplo
de 13 para cualquier n entero. Tenemos :
\(4^{2n+1} + 3^{n+2} = 4·4^{2n} + 9·3^n = 4·16^n - (-9)·3^n\)
y como se verifica que : 16 - 3 = 13 ; 4 - (-9) = 13,
queda demostrado lo dicho.
BIBLIOGRAFIA
1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.
2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios
de matemática discreta, Ed A.V.L.
3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica
de números. Ed. Reverté
4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez.
Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.