Proposición 1

Si se cumple : , entonces, la expresión : (14) es múltiplo de (a+b) para todo n natural

Demostración

Sea (a+b) = c. Para cualquier número natural t podemos escribir t = r·a + s·b donde r y s son números naturales.

Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad, si t es múltiplo de c, se cumplirá que r-s también lo es. En esas condiciones podemos escribir :



y, por tanto : , con lo cual :

y, a partir de ahí :

Pero teniendo en cuenta la hipótesis de partida, resulta :



lo que significa que , para n = 1, la expresión considerada es múltiplo de c = (a+b).

Supongamos ahora que la expresión (14) es múltiplo de c para un valor dado de n; entonces :



Y así :



por lo que :



y, por la hipótesis de inducción, queda demostrado lo que nos proponíamos.

Corolario

La expresión : es múltiplo de cuando se verifica que :

EJEMPLO 2 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Para la expresión :[2] se cumple lo dicho, por lo que podemos decir que es múltiplo de 13

Proposición 2

Si se cumple : entonces, la expresión : (27) es múltiplo de (a-b) para todo n natural

Demostración

Por el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad, cualquier número de la forma c = r·a - s·b será múltiplo de (a-b) si lo es (r+s).

Para n = 1 y teniendo en cuenta la hipótesis de partida, podemos escribir :



Sea ahora n un número par. Para la expresión (27) tenemos :



y desarrollando :



Pero se cumple :



por lo que, para n par, la expresión (27) será múltiplo de (a-b) si lo es para n impar.

Sea entonces n = 2p+1 y supongamos que :



es múltiplo de (a-b). Tenemos :



La anterior expresión será múltiplo de (a-b) si lo es



que, a su vez, lo será si lo es :



pero, por la hipótesis de inducción, sabemos que ello es cierto, por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.

EJEMPLO 3 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] : es múltiplo de 17 para todo n natural, ya que se tiene :



y como se cumple : 15 - (-2) = 17 ; 25 - 8 = 17, resulta lo dicho.

EJEMPLO 4 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] : es múltiplo de 14 para todo n natural, ya que se tiene :



y puesto que 9+5 = 14, tenemos lo dicho.

EJEMPLO 5 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [2] : es múltiplo de 11 para todo n natural, ya que se tiene :



y quitando el denominador :



con lo que resulta :



y hemos demostrado lo que queríamos.

EJEMPLO 6 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión es múltiplo de 7 para todo n natural, ya que se tiene :



y cada uno de los sumandos obtenidos es múltiplo de 7.

EJEMPLO 7 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Para demostrar que se cumple : (37)



para todo n entero [3], podemos considerar un número de la forma :

5·r + 7·s

con lo que tendremos : 12 = 5 + 7 = 5.1 + 7.1

Y, por tanto, (37) será múltiplo de 12 si lo es (r-s). Tenemos (38)



y (37) se verificará si (38) es múltiplo de 12.

Si n es par, tenemos :



Está claro que el término fuera del corchete es múltiplo de 4 para cualquier valor de a y p (siendo p primo).

El término de dentro del corchete se puede poner : y su valor será múltiplo de 3 si lo es p² - 1; pero ello es cierto según el teorema de Euler-Fermat.

Si n es impar, entonces el término entre paréntesis de (38) es múltiplo de 12 ya que, por una parte, es múltiplo de 3 según sabemos por el teorema de Euler-Fermat y, por otra, se puede poner en la forma :



y cada uno de los factores resultantes es par.

EJEMPLO 8 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión es divisible por 3 para cualesquiera m y n enteros. Para ver que ello es así, aplicamos lo visto en párrafos anteriores. Tenemos



y la divisibilidad dependerá de que (r-s) sea múltiplo de 3. resulta :



Y, evidentemente, para cualquier valor de n, alguno de los números (n-1), n, (n+1) es múltiplo de 3.

EJEMPLO 9 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [4] no es múltiplo de 7. Para verlo, tenemos que 7n siempre es múltiplo de 7, por lo que si la expresión dada no lo es, debemos aplicar lo dicho a :

y tenemos :



La expresión siempre es múltiplo de 7 puesto que tenemos :



En consecuencia, por no ser 1 multiplo de 7, no lo será la expresión inicial.

EJEMPLO 10 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

La expresión [4] es múltiplo de 13 para cualquier n entero. Tenemos :



y como se verifica que : 16 - 3 = 13 ; 4 - (-9) = 13,

queda demostrado lo dicho.

BIBLIOGRAFIA

1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.

2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez. Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.