EJEMPLOS
DE APLICACIÓN DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Proposición 1
Si se cumple :
,
entonces, la expresión :
(14) es múltiplo de (a+b) para todo n natural
Demostración
Sea (a+b) = c. Para cualquier número natural t podemos
escribir t = r·a + s·b donde r y s son números
naturales.
Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios
de divisibilidad, si t es múltiplo de c, se cumplirá
que r-s también lo es. En esas condiciones podemos escribir
:
y, por tanto :
,
con lo cual :
y, a partir de ahí :
Pero teniendo en cuenta la hipótesis de partida, resulta
:
lo que significa que , para n = 1, la expresión considerada
es múltiplo de c = (a+b).
Supongamos ahora que la expresión (14) es múltiplo
de c para un valor dado de n; entonces :
Y así :
por lo que :
y, por la hipótesis de inducción, queda demostrado
lo que nos proponíamos.
Corolario
La expresión :
es múltiplo de
cuando
se verifica que :
EJEMPLO 2 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Para la expresión :[2]
se cumple lo dicho, por lo que podemos decir que es múltiplo
de 13
Proposición 2
Si se cumple :
entonces, la expresión :
(27)
es múltiplo de (a-b) para todo n natural
Demostración
Por el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad,
cualquier número de la forma c = r·a - s·b
será múltiplo de (a-b) si lo es (r+s).
Para n = 1 y teniendo en cuenta la hipótesis de partida,
podemos escribir :
Sea ahora n un número par. Para la expresión (27)
tenemos :
y desarrollando :
Pero se cumple :
por lo que, para n par, la expresión (27) será múltiplo
de (a-b) si lo es para n impar.
Sea entonces n = 2p+1 y supongamos que :
es múltiplo de (a-b). Tenemos :
La anterior expresión será múltiplo de (a-b)
si lo es
que, a su vez, lo será si lo es :
pero, por la hipótesis de inducción, sabemos que
ello es cierto, por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.
EJEMPLO 3 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] :
es múltiplo de 17 para todo n natural, ya que se tiene
:
y como se cumple : 15 - (-2) = 17 ; 25 - 8 = 17, resulta lo dicho.
EJEMPLO 4 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] :
es múltiplo de 14 para todo n natural, ya que se tiene
:
y puesto que 9+5 = 14, tenemos lo dicho.
EJEMPLO 5 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión [2] :
es múltiplo de 11 para todo n natural, ya que se tiene
:
y quitando el denominador :
con lo que resulta :
y hemos demostrado lo que queríamos.
EJEMPLO 6 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión
es
múltiplo de 7 para todo n natural, ya que se tiene :
y cada uno de los sumandos obtenidos es múltiplo de 7.
EJEMPLO 7 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Para demostrar que se cumple : (37)
para todo n entero [3], podemos considerar un número de
la forma :
con lo que tendremos : 12 = 5 + 7 = 5.1 + 7.1
Y, por tanto, (37) será múltiplo de 12 si lo es
(r-s). Tenemos (38)
y (37) se verificará si (38) es múltiplo de 12.
Si n es par, tenemos :
Está claro que el término fuera del corchete es
múltiplo de 4 para cualquier valor de a y p (siendo p primo).
El término de dentro del corchete se puede poner :
y su valor será múltiplo de 3 si lo es p² -
1; pero ello es cierto según el teorema de Euler-Fermat.
Si n es impar, entonces el término entre paréntesis
de (38) es múltiplo de 12 ya que, por una parte, es múltiplo
de 3 según sabemos por el teorema de Euler-Fermat y, por
otra, se puede poner en la forma :
y cada uno de los factores resultantes es par.
EJEMPLO 8 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión
es
divisible por 3 para cualesquiera m y n enteros. Para ver que
ello es así, aplicamos lo visto en párrafos anteriores.
Tenemos
y la divisibilidad dependerá de que (r-s) sea múltiplo
de 3. resulta :
Y, evidentemente, para cualquier valor de n, alguno de los números
(n-1), n, (n+1) es múltiplo de 3.
EJEMPLO 9 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión
[4]
no es múltiplo de 7. Para verlo, tenemos que 7n siempre
es múltiplo de 7, por lo que si la expresión dada
no lo es, debemos aplicar lo dicho a :
y tenemos :
La expresión
siempre
es múltiplo de 7 puesto que tenemos :
En consecuencia, por no ser 1 multiplo de 7, no lo será
la expresión inicial.
EJEMPLO 10 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
La expresión
[4]
es múltiplo de 13 para cualquier n entero. Tenemos :
y como se verifica que : 16 - 3 = 13 ; 4 - (-9) = 13,
queda demostrado lo dicho.
BIBLIOGRAFIA
1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.
2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios
de matemática discreta, Ed A.V.L.
3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica
de números. Ed. Reverté
4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez.
Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.